Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và Bài tập vận dụng - Toán 11 chuyên đề

Đừng lo, Hay Học Hỏi sẽ đồng hành cùng bạn để biến những công thức này thành "vũ khí" lợi hại nhất!

I. Lý thuyết và Công thức Nghiệm cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản bao gồm 4 dạng chính. Việc ghi nhớ các công thức nghiệm tương ứng là chìa khóa để giải toán nhanh và chính xác:

1. Phương trình $\sin x = a$:

   • Nếu $|a| \le 1$: Phương trình có nghiệm:

     $$x = \alpha + k2\pi$$

     hoặc

     $$x = \pi - \alpha + k2\pi$$

     (với $k \in \mathbb{Z}$ và $\sin \alpha = a$).

   • Nếu $|a| > 1$: Phương trình vô nghiệm.

2. Phương trình $\cos x = a$:

   • Nếu $|a| \le 1$: Phương trình có nghiệm:

     $$x = \pm \alpha + k2\pi$$

     (với $k \in \mathbb{Z}$ và $\cos \alpha = a$).

   • Nếu $|a| > 1$: Phương trình vô nghiệm.

3. Phương trình $\tan x = a$:

   • Luôn có nghiệm:

     $$x = \alpha + k\pi$$

     (với $k \in \mathbb{Z}$ và $\tan \alpha = a$).

4. Phương trình $\cot x = a$:

   • Luôn có nghiệm:

     $$x = \alpha + k\pi$$

     (với $k \in \mathbb{Z}$ và $\cot \alpha = a$).

II. Hệ thống bài tập về giải phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập 1: Giải các phương trình lượng giác cơ bản

a) $\sin(x + 2) = \frac{1}{3}$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x + 2 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + k2\pi \\ x + 2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - 2 + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) - 2 + k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

b) $\sin 3x = 1$

• Lời giải:

  $$\Leftrightarrow \sin 3x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
  $$\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, (k \in \mathbb{Z})$$
  $$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}, (k \in \mathbb{Z})$$

c) $\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 0$

• Lời giải:

  $$\Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi, (k \in \mathbb{Z})$$
  $$\Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi$$
  $$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{3k\pi}{2}, (k \in \mathbb{Z})$$

d) $\sin(2x + 20^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \sin(2x + 20^\circ) = \sin(-60^\circ)$
  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x + 20^\circ = -60^\circ + k360^\circ \\ 2x + 20^\circ = 180^\circ - (-60^\circ) + k360^\circ \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x = -80^\circ + k360^\circ \\ 2x = 220^\circ + k360^\circ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = -40^\circ + k180^\circ \\ x = 110^\circ + k180^\circ \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

Bài tập 2: Giải các phương trình lượng giác đa dạng

a) $\sin 2x = \frac{1}{2}$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \sin 2x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

b) $\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \cos 2x = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
  $\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{3\pi}{4} + k2\pi$
  $\Leftrightarrow x = \pm \frac{3\pi}{8} + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$

c) $\tan(x + 60^\circ) = -\sqrt{3}$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \tan(x + 60^\circ) = \tan(-60^\circ)$
  $\Leftrightarrow x + 60^\circ = -60^\circ + k180^\circ$
  $\Leftrightarrow x = -120^\circ + k180^\circ, (k \in \mathbb{Z})$

d) $\cot\left(\frac{\pi}{5} - 3x\right) = \frac{1}{3}$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \frac{\pi}{5} - 3x = \text{arccot}\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, (k \in \mathbb{Z})$
  $\Leftrightarrow -3x = \text{arccot}\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{5} + k\pi$
  $\Leftrightarrow x = -\frac{\text{arccot}(1/3)}{3} + \frac{\pi}{15} + \frac{k\pi}{3}, (k \in \mathbb{Z})$

Bài tập 3: Giải các phương trình có hai vế chứa hàm lượng giác

a) $\sin 2x = \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$

• Lời giải:

  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 3x + \frac{\pi}{4} = 2x + k2\pi \\ 3x + \frac{\pi}{4} = \pi - 2x + k2\pi \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \\ 5x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \end{matrix} \right.$
  $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x = \frac{3\pi}{20} + \frac{k2\pi}{5} \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$

b) $\tan\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6} - 3x\right)$

c) $\cos(2x + 20^\circ) = \sin(40^\circ - x)$

d) $\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\cot\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Bài tập 4: Luyện tập tổng hợp

a) $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos(2x + 25^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\tan\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

d) $\cot(4x + 2) = -\sqrt{3}$

Bài tập 5: Bài tập nâng cao

a) $\sin(2x - 3) = \sin(x + 1)$

b) $\sin 3x = \cos 4x$

c) $\tan(3x + 2) = -\cot 2x$

d) $\cos(x + 120^\circ) = \sin(2x + 50^\circ)$