Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác - Toán 11 chuyên đề

Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại phương pháp giải và các ví dụ minh họa chi tiết giúp các em chinh phục dạng toán này một cách nhanh chóng và chính xác.

I. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập $D$:

• Giá trị lớn nhất ($M$): $M = \max_D f(x)$ khi và chỉ khi $f(x) \le M, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$.

• Giá trị nhỏ nhất ($m$): $m = \min_D f(x)$ khi và chỉ khi $f(x) \ge m, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$.

1. Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Để giải nhanh các bài tập, các em cần ghi nhớ các miền giá trị sau với mọi $x$:

• $-1 \le \sin x \le 1$ và $-1 \le \cos x \le 1$.

• $0 \le |\sin x| \le 1$ và $0 \le |\cos x| \le 1$.

• $0 \le \sin^2 x \le 1$ và $0 \le \cos^2 x \le 1$.

• $0 \le \sqrt{\sin x} \le 1$ và $0 \le \sqrt{\cos x} \le 1$ (khi biểu thức có nghĩa).

2. Các công cụ hỗ trợ quan trọng

• Điều kiện có nghiệm của phương trình cổ điển: Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có nghiệm khi và chỉ khi $a^2 + b^2 \ge c^2$.

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai bộ số $(a_1; a_2)$ và $(b_1; b_2)$, ta có:

  $$(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$$

  Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

II. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Sử dụng tính chất của trị tuyệt đối

Đề bài: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = 3 - 5|\cos 2x|$.

Lời giải:

Ta có: $0 \le |\cos 2x| \le 1$.

• Nhân các vế với $-5$ (đổi chiều bất đẳng thức): $0 \ge -5|\cos 2x| \ge -5$.

• Cộng các vế với $3$: $3 \ge 3 - 5|\cos 2x| \ge 3 - 5$.

• Suy ra: $-2 \le y \le 3$.

Kết luận:

• $\max y = 3$ khi $\cos 2x = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

• $\min y = -2$ khi $\cos 2x = \pm 1$ $\Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2}$.

Ví dụ 2: Sử dụng tính chất lũy thừa

Đề bài: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = 2 + 3\cos^2 x$.

Lời giải:

Với mọi $x$, ta có $0 \le \cos^2 x \le 1$.

• Nhân với $3$: $0 \le 3\cos^2 x \le 3$.

• Cộng với $2$: $2 \le 2 + 3\cos^2 x \le 5$.

Kết luận:

• $\max y = 5$ khi $\cos^2 x = 1$ $\Leftrightarrow \cos x = \pm 1$ $\Leftrightarrow x = k\pi$.

• $\min y = 2$ khi $\cos^2 x = 0$ $\Leftrightarrow \cos x = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Ví dụ 3: Biến đổi về một hàm lượng giác

Đề bài: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = 3\sin^2 x + 2\cos^2 x$.

Lời giải:

Biến đổi hàm số: $y = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x = 2 + \sin^2 x$.

Vì $0 \le \sin^2 x \le 1 \Rightarrow 2 \le 2 + \sin^2 x \le 3$.

Kết luận: $\max y = 3$ và $\min y = 2$.

Ví dụ 4: Phương pháp điều kiện có nghiệm (Nâng cao)

Đề bài: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{\cos x + 2\sin x + 3}{2\cos x - \sin x + 4}$.

Lời giải:

Gọi $y_0$ là một giá trị của hàm số, phương trình sau phải có nghiệm:

Phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi:

Kết luận: $\max y = 2$ và $\min y = \frac{2}{11}$.