Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác - Toán 11 chuyên đề

Vậy làm sao để tìm được giá trị lớn nhất (gtln) và giá trị nhỏ nhất (gtnn) của hàm số lượng giác được nhanh và chính xác? Đó là câu hỏi mà nhiều em quan tâm. Bài viết dưới đây Hay học hỏi sẽ cùng các em tìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác. Các em hãy truy cập  để xem và ủng hộ bài viết gốc nhé.

I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

* Cho hàm số f(x) xác định trên tập D

• 

• 

* Lưu ý đối với các hàm số lượng giác:

Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

° ∀x ta có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

° ∀x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

° ∀x ta có: 0 ≤ cos²x ≤ 1; 0 ≤ sin²x ≤ 1

°  

° Bất đẳng thức Bunhia – Copski: Cho hai bộ số (a₁; a₂) và (b₁;b₂) khi đó ta có:

 (a₁.b₁+ a₂.b₂ )² ≤ (a₁²+ a₂²).(b₁²+ b₂²)

Dấu "=" xảy ra khi: a₁/a₂ = b₁/b₂

° Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số f(x) là [m; M].

° Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a² + b² ≥ c².

II. Ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

* Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y= 3 - 5|cos2x|

* Lời giải (từ hay-học-hỏi.vn):

0 Với mọi x ta có: - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 0 ≤ |cos2x| ≤ 1

⇒ 0 ≤ 5|cos2x| ≤ 5

⇒ 0 ≥ -5|cos2x| ≥ -5 (nhân 2 vế với -1 thì bất đẳng thức đổi chiều)

⇒ 3 ≥ 3 - 5|cos2x| ≥ 3 - 5 (cộng các vế bất đẳng thức với 3)

⇒ 3 ≥ 3 - 5|cos2x| ≥ -2

⇒ -2 ≤ y ≤ 3 Suy ra:

Max(y) = 3 khi cos2x = 0 ⇔ 2x = π/2 + kπ ⇔ x = π/4 + kπ/2

Min(y) = -2 khi cos2x = ±1 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2

* Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y= 2 + 3cos²x.

* Lời giải (từ hay-học-hỏi.vn):

- Với mọi x ta có: - 1 ≤ cosx ≤ 1

⇒ 0 ≤ cos²x ≤ 1 

⇒ 0 ≤ 3cos²x ≤ 3 (nhân các vế với 3)

⇒ 2 ≤ 2+ 3cos²x ≤ 5 (cộng các vế với 2)

⇒ 2 ≤ y ≤ 5 suy ra:

Max(y) = 5 khi cos²x = 1 ⇔ cosx = ±1 ⇔ x = kπ

mix(y) = 2 khi cos²x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = kπ/2

* Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin²x + 2cos²x

* Lời giải:

- Ta có: y = 3sin² x+ 2cos²x = 2(sin²x+ cos²x) + sin²x = 2 + sin² x.

Do: -1 ≤ sinx ≤ 1 nên 0 ≤ sin²x ≤ 1 ⇒ 2 ≤ 2 + sin²x ≤ 3

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là:Max(y) = 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là min(y) = 2.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y=(cosx + 2sinx + 3)/(2cosx -sinx + 4)

* Lời giải:

- Ta gọi y₀ là một giá trị của hàm số, khi đó:

Phương trình y₀ = (cosx + 2sinx + 3)/(2cosx - sinx + 4) có nghiệm.

⇔ y₀.(2cosx - sinx + 4) = cosx +2sinx + 3 có nghiệm

⇔ 2y₀.cosx – sinx.y₀ + 4y₀ - cosx – 2sinx – 3 = 0 có nghiệm

⇔ (2y₀ - 1)cosx – (y₀ + 2).sinx = 3 - 4y₀  (*) có nghiệm

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi :

(2y₀ - 1)² + (y₀ + 2)² ≥ (3 - 4y₀)²

⇔ 4y₀² – 4y₀ + 1 + y₀² + 4y₀ + 4 ≥ 9 - 24y₀ + 16y₀²

⇔ 11y₀² – 24y₀ + 4 ≤ 0

⇔ 2/11 ≤ y₀ ≤ 2

Vậy Max(y) = 2 đạt được khi:

 3cosx – 4sinx = -5 

⇔ sin(x - α) = 1 với cos⁡α = 4/5; sin⁡α = 3/5

⇔ x - α = π/2 + kπ

⇔ x = π/2 + α + kπ (k ∈ Z)

và min(y) = 2/11 đạt được khi:

 24sinx  + 7cosx = 25 (giải pt lượng giác theo dạng: asinx + bcosx = c)