Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b) cho trước - Toán 12 chuyên đề

Để giải quyết tốt dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu và kỹ thuật cô lập tham số m hoặc sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai.

I. Lý thuyết trọng tâm về tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa tính đơn điệu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ (với $K$ là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

• Hàm số đồng biến (tăng) trên $K$ nếu: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.

• Hàm số nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

a) Điều kiện cần:

• Nếu hàm số đồng biến trên $K$ thì $f'(x) \geq 0, \forall x \in K$ (đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm).

• Nếu hàm số nghịch biến trên $K$ thì $f'(x) \leq 0, \forall x \in K$ (đẳng thức xảy ra tại hữu hạn điểm).

b) Điều kiện đủ:

• $f'(x) > 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $K$.

• $f'(x) < 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $K$.

• $f'(x) = 0, \forall x \in K \Rightarrow$ Hàm số không đổi (hàm hằng) trên $K$.

II. Phương pháp giải bài toán tìm m trên khoảng (a; b)

Để tìm tham số $m$ giúp hàm số đơn điệu trên khoảng $(a; b)$, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau:

1. Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ): Đảm bảo hàm số xác định trên toàn bộ khoảng $(a; b)$.

2. Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$: Xác định biểu thức đạo hàm theo biến $x$ và tham số $m$.

3. Bước 3: Lập luận điều kiện:

   • Để hàm số đồng biến trên $(a; b) \Rightarrow f'(x) \geq 0, \forall x \in (a; b)$.

   • Để hàm số nghịch biến trên $(a; b) \Rightarrow f'(x) \leq 0, \forall x \in (a; b)$.

4. Bước 4: Xử lý bất phương trình:

   • Cách 1 (Cô lập m): Đưa về dạng $m \leq g(x)$ hoặc $m \geq g(x)$. Khi đó:

     • $m \geq g(x), \forall x \in (a; b) \Leftrightarrow m \geq \max_{(a; b)} g(x)$.

     • $m \leq g(x), \forall x \in (a; b) \Leftrightarrow m \leq \min_{(a; b)} g(x)$.

   • Cách 2 (Tam thức bậc hai): Sử dụng các định lý về dấu của tam thức bậc hai hoặc so sánh nghiệm với một số thực.

III. Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Hàm đa thức bậc ba

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3(m + 1)x - (m+1) \quad (*)$

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên $[1; +\infty)$.

• Giải:

  • TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 3(m + 1)$.

  • Để hàm số đồng biến trên $[1; +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, \forall x \in [1; +\infty)$.

  • $\Leftrightarrow 3x^2 - 6x - 3(m + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 \geq m$.

  • Xét $g(x) = x^2 - 2x - 1$ trên $[1; +\infty)$. Có $g'(x) = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

• Bảng biến thiên cho thấy $\min_{[1; +\infty)} g(x) = g(1) = -2$.

• Kết luận: $m \leq -2$.

b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên $[-1; 3]$.

• Giải:

  • Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f'(x) \leq 0, \forall x \in [-1; 3]$.

  • $\Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 \leq m, \forall x \in [-1; 3]$.

  • Xét $g(x) = x^2 - 2x - 1$. Tại $x = -1 \Rightarrow g(-1) = 2$; tại $x = 3 \Rightarrow g(3) = 2$; tại $x = 1 \Rightarrow g(1) = -2$.

Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta có:

• Giá trị lớn nhất của $g(x)$ trên $[-1; 3]$ là $2$.

• Kết luận: $m \geq 2$.

Bài tập 2: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Cho hàm số: $y = \frac{mx^2 + x + m}{mx + 1} \quad (*)$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.

• Giải:

  • Điều kiện xác định: $mx + 1 \neq 0$.

  • Đạo hàm: $y' = \frac{m^2x^2 + 2mx + 1 - m^2}{(mx+1)^2}$.

  • TH1: $m = 0$. Hàm số trở thành $y = x$, luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ (Thỏa mãn).

  • TH2: $m \neq 0$. Để hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$ thì:

    1. Hàm số phải xác định trên $(0; +\infty) \Rightarrow$ Nghiệm $x = -1/m \notin (0; +\infty)$.

    2. $y' \geq 0, \forall x \in (0; +\infty) \Leftrightarrow g(x) = m^2x^2 + 2mx + 1 - m^2 \geq 0, \forall x > 0$.

  • Sử dụng định lý nghiệm tam thức bậc hai và kết hợp điều kiện xác định, ta thu được kết quả: $0 < m \leq 1$.

  • Kết luận chung: $0 \leq m \leq 1$.

* Lưu ý:Theo Vi-et với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc 2 thì: $S=x_1+x_2=\frac{-m}{a};\: P=x_1.x_2=\frac{c}{a}$

Trong điều kiện ở trên: P≥0 để 2 nghiệm của pt bậc 2 cùng dấu; S<0 để 2 nghiệm của pt bậc 2 nằm về bên trái số 0 (cùng âm).

→ Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp trên ta được:

Khi 0 ≤ m ≤ 1 thì hàm số (*) đồng biến trên (0;+∞)

IV. Bài tập tự luyện

Để thành thạo kỹ năng, các em hãy thử sức với các bài tập sau:

• Bài tập 3: Cho hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + mx^2 - 3x - 4$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 3)$.

• Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - 2(m+1)x^2 - (2m+1)x + m$. Xác định $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.

• Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{x-1}{x+m}$. Xác định $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$.