Bài 6 trang 43 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

10:17:1831/03/2024

Hướng dẫn giải bài 6 trang 43 Toán 12 tập 1 Cánh Diều SGK chi tiết dễ hiểu để học sinh tham khảo giải Toán 12 Cánh diều tập 1 giỏi hơn.

Bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x-1}{x+1}$

b) $y=\frac{-2x}{x+1}$

c) $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

d) $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$

e) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$

g) $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$

Giải bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều:

a) $y=\frac{x-1}{x+1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^-}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^+}y=-\infty$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=1$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=1$

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{2}{(x+1)^2}>0$ , với mọi x ≠ – 1.

• Bảng biến thiên:

BBT câu a bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu a bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ được cho ở hình trên.

b) $y=\frac{-2x}{x+1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^-}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^+}y=+\infty$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-2$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=-2$

Do đó, đường thẳng y = – 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{-2}{(x+1)^2}<0$ , với mọi x ≠ – 1 .

• Bảng biến thiên:

BBT câu b bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 3), (– 2; – 4), (0; 0) và (1; – 1).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu b bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-2x}{x+1}$ được cho ở hình trên.

c) $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {1}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=x-2+\frac{4}{x-1}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to1^-}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to1^+}y=+\infty$

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(x-2)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x-1}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(x-2)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x-1}=0$

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $y'=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$

y' = 0 ⇔ x² – 2x – 3 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

• Bảng biến thiên:

BBT câu c bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞);

nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 1) và (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y_CĐ = – 5; đạt cực tiểu tại x = 3, y_CT = 3.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 6).

• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 6), (– 1; – 5), (0; – 6), (2; 4), (3; 3) và (5; 4).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu c bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$ được cho ở hình trên.

d) $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=-x-\frac{4}{x-2}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^-}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^+}y=-\infty$

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{x-2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-4}{x-2}=0$

Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $y'=\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}$

y' = 0 ⇔ – x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

• Bảng biến thiên:

BBT câu d bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (0; 2) và (2; 4); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (4; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 4, y_CĐ = – 6; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = 2.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 3), (0; 2), (1; 3), (3; – 7), (4; – 6) và (6; – 7).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu d bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ được cho ở hình trên.

e) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 2}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=2x-1-\frac{3}{x+2}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-2^-}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-2^+}y=-\infty$

Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(2x-1)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3}{x+2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(2x-1)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-3}{x+2}=0$

Do đó, đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)^+3}{(x+2)^2}=2+\frac{3}{(x+2)^2}>0$ với mọi x ≠ – 2;

• Bảng biến thiên:

BBT câu e bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; -5/2)

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\small\:\frac{2x^2+3x-5}{x+2}=0$ ta được x = 1 và x = -5/2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (-5/2; 0)

$(- \frac{5}{2}; 0)$ • Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 4), (-5/2; 0), (– 1; – 6), (0; -5/2) và (1; 0).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 2; – 5) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu e bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ được cho ở hình trên.

g) $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=-x+\frac{3}{x-2}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^-}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^+}y=+\infty$

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x-2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{x-2}=0$

Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{-x^2+4x-7}{(-x+2)^2}=\frac{-(x-2)^2-3}{(-x+2)^2}=-1-\frac{3}{(-x+2)^2}<0$ với mọi x ≠ 2;

• Bảng biến thiên:

BBT câu g bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; -3/2)

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\small\:\frac{x^2-2x-3}{-x+2}=0$ ta được x = – 1 và x = 3.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (– 1; 0) và (3; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 0), (0; -3/2), (1; – 4), (3; 0) và (5; – 4).

Đồ thị câu g bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$ được cho ở hình trên.

Với lời giải bài 6 trang 43 Toán 12 tập 1 Cánh diều chi tiết, dễ hiểu ở trên. Hay Học Hỏi hy vọng giúp các em nắm vững phương pháp giải Toán 12 tập 1 Cánh diều. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để được ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

• Xem thêm Giải Toán 12 Tập 1 Cánh Diều

> Bài 1 trang 42 Toán 12 Tập 1 Cánh diều: Đồ thị hàm số y = x³ - 3x - 1 là đường cong nào trong các đường cong sau?...

> Bài 2 trang 42 Toán 12 Tập 1 Cánh diều: Đường cong ở hình 29 là đồ thị của hàm số: a) y = x³ + x² + 2x + 2...

> Bài 3 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều: Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số $y=\frac{1-x}{x+1}$