Hotline 0936685849

Bài 6 trang 43 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

10:17:1831/03/2024

Bài toán yêu cầu khảo sát sự biến thiên của các hàm số phân thức. Đối với các hàm số này, ta cần xác định tập xác định, tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên (bao gồm giới hạn tại tiệm cận và vô cực), và xác định tính đơn điệu cùng cực trị (nếu có).

Đề bài:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x-1}{x+1}$

b) $y=\frac{-2x}{x+1}$

c) $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

d) $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$

e) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$

g) $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đối với các hàm số $\mathbf{y = \frac{Ax + B}{Cx + D}}$ (bậc nhất trên bậc nhất), ta chỉ cần tìm đạo hàm $\mathbf{y'}$ và kết luận tính đơn điệu.

Đối với các hàm số $\mathbf{y = \frac{Ax^2 + Bx + C}{Dx + E}}$ (bậc hai trên bậc nhất), ta thực hiện các bước:

Chia đa thức (tách phần nguyên) để tìm tiệm cận xiên (TCX): $\mathbf{y = ax + b + \frac{c}{Dx + E}}$ .
Tính đạo hàm $\mathbf{y'}$ và tìm nghiệm $\mathbf{y' = 0}$ để xác định các điểm cực trị.
Tính giới hạn tại vô cực và tại các tiệm cận đứng.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{x-1}{x+1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^-}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^+}y=-\infty$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=1$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=1$

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{2}{(x+1)^2}>0$ , với mọi x ≠ – 1.

• Bảng biến thiên:

BBT câu a bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu a bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ được cho ở hình trên.

b) $y=\frac{-2x}{x+1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^-}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^+}y=+\infty$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-2$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=-2$

Do đó, đường thẳng y = – 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{-2}{(x+1)^2}<0$ , với mọi x ≠ – 1 .

• Bảng biến thiên:

BBT câu b bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 3), (– 2; – 4), (0; 0) và (1; – 1).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu b bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-2x}{x+1}$ được cho ở hình trên.

c) $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {1}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=x-2+\frac{4}{x-1}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to1^-}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to1^+}y=+\infty$

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(x-2)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x-1}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(x-2)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x-1}=0$

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $y'=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$

y' = 0 ⇔ x² – 2x – 3 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

• Bảng biến thiên:

BBT câu c bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞);

nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 1) và (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y_CĐ = – 5; đạt cực tiểu tại x = 3, y_CT = 3.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 6).

• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 6), (– 1; – 5), (0; – 6), (2; 4), (3; 3) và (5; 4).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu c bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$ được cho ở hình trên.

d) $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=-x-\frac{4}{x-2}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^-}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^+}y=-\infty$

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{x-2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-4}{x-2}=0$

Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $y'=\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}$

y' = 0 ⇔ – x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

• Bảng biến thiên:

BBT câu d bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (0; 2) và (2; 4); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (4; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 4, y_CĐ = – 6; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = 2.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 3), (0; 2), (1; 3), (3; – 7), (4; – 6) và (6; – 7).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu d bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ được cho ở hình trên.

e) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 2}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=2x-1-\frac{3}{x+2}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-2^-}y=+\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-2^+}y=-\infty$

Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(2x-1)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3}{x+2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(2x-1)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-3}{x+2}=0$

Do đó, đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}=\frac{2(x+2)^+3}{(x+2)^2}=2+\frac{3}{(x+2)^2}>0$ với mọi x ≠ – 2;

• Bảng biến thiên:

BBT câu e bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; -5/2)

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\small\:\frac{2x^2+3x-5}{x+2}=0$ ta được x = 1 và x = -5/2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (-5/2; 0)

$(- \frac{5}{2}; 0)$ • Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 4), (-5/2; 0), (– 1; – 6), (0; -5/2) và (1; 0).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 2; – 5) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đồ thị câu e bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ được cho ở hình trên.

g) $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $\small\:y=-x+\frac{3}{x-2}$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^-}y=-\infty$ ; $\small\:\displaystyle\lim_{x\to2^+}y=+\infty$

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x-2}=0$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{x-2}=0$

Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• $\small\:y'=\frac{-x^2+4x-7}{(-x+2)^2}=\frac{-(x-2)^2-3}{(-x+2)^2}=-1-\frac{3}{(-x+2)^2}<0$ với mọi x ≠ 2;

• Bảng biến thiên:

BBT câu g bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; -3/2)

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\small\:\frac{x^2-2x-3}{-x+2}=0$ ta được x = – 1 và x = 3.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (– 1; 0) và (3; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 0), (0; -3/2), (1; – 4), (3; 0) và (5; – 4).

Đồ thị câu g bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x-3}{-x+2}$ được cho ở hình trên.

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số phân thức đã xác định được các tính chất đơn điệu như sau:

Hàm đồng biến trên từng khoảng $\mathbf{(y = \frac{x-1}{x+1})}$ , luôn đồng biến $\mathbf{(y = \frac{2x^2+3x-5}{x+2})}$ , hoặc luôn nghịch biến $\mathbf{(y = \frac{-2x}{x+1})}$ .
Các hàm $\mathbf{y = \frac{x^2-3x+6}{x-1}, y = \frac{-x^2+2x-4}{x-2}, y = \frac{x^2-2x-3}{-x+2}}$ đều có cực trị (2 cực trị địa phương) và có tiệm cận xiên (TCX) với tính đơn điệu đan xen trên các khoảng xác định.
Hàm $\mathbf{y = \frac{2x^2+3x-5}{x+2}}$ có $\mathbf{y' > 2}$ (luôn dương) nên luôn đồng biến trên $\mathbf{D}$ .