Bài 5 trang 43 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ - 3x² + 1

b) y = -x³ + 3x² - 1

c) y = (x - 2)³ + 4

d) y = -x³ + 3x² - 3x + 2

e) y = x³ + x² + 2x + 1

g) y = -x³ - 3x

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đối với mỗi hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện các bước khảo sát tiêu chuẩn:

1. Tập xác định $\mathbf{D}$.

2. Sự biến thiên:

   • Tính $\mathbf{\lim_{x \to \pm\infty} y}$.

   • Tính $\mathbf{y'}$ và giải phương trình $\mathbf{y' = 0}$ để tìm cực trị.

   • Lập Bảng biến thiên.

3. Đồ thị:

   • Tìm giao điểm với trục tung $\mathbf{(x=0)}$ và trục hoành $\mathbf{(y=0)}$.

   • Xác định tâm đối xứng $\mathbf{I(-\frac{b}{3a}; y(-\frac{b}{3a}))}$ và vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) y = 2x³ - 3x² + 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: 

; 

• y' = 6x² – 6x;

y' = 0 ⇔ 6x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 1).  

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = 0.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình 2x³ – 3x² + 1 = 0 ta được x = -1/2 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (-1/2; 0); (1; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0), (0; 1), (-1/2; 0), (–1; –4) và (1/2; 1/2) có đồ thị như sau:

Vậy đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² + 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1/2; 1/2).

b) y = -x³ + 3x² - 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: 

;

• y' = – 3x² + 6x;

y' = 0 ⇔ – 3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 2); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = – 1.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x³ + 3x² – 1 = 0, ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 3), (0; – 1), (1; 1), (2; 3) và (3; – 1) và có đồ thị như sau:

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

c) y = (x - 2)³ + 4 = x³ – 6x² + 12x – 8 + 4 = x³ – 6x² + 12x – 4.

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: 

; 

• y' = 3x² – 12x + 12 = 3(x – 2)²;

y' ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

y' = 0 khi x = 2.

• Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 4).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ – 6x² + 12x – 4 = 0, ta thấy phương trình có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 4), (1; 3), (2; 4) và (3; 5) nên có đồ thị hàm số như sau:

Vậy đồ thị hàm số y = (x – 2)³ + 4 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(2; 4).

d) y = -x³ + 3x² - 3x + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: 

; 

• y' = – 3x² + 6x – 3 = – 3(x – 1)² ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y' = 0 khi x = 1.

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.  

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x³ + 3x² – 3x + 2 = 0 ta được x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).  

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (2; 0) và (1; 1) nên có đồ thị như sau:

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 3x + 2 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

e) y = x³ + x² + 2x + 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực:

; 

• y' = x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.  

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ + x² + 2x + 1 = 0 ta thấy có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1), (-1; -1/3) ta có đồ thị như sau:

Vậy đồ thị hàm số y =  x³ + x² + 2x + 1  được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(-1; -1/3)

g) y = -x³ - 3x

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực:

; 

• y' = – 3x² – 3 = – 3(x² + 1) < 0 với mọi x ∈ ℝ;

• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị. 

3) Đồ thị

• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (– 1; 4) và (1; – 4) có dạng hình sau:

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ – 3x được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm O(0; 0).