Bài 11 trang 47 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con song báo quanh hai khu đất trồng rau có dạng hình chữ nhật bằng nhau (hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Gọi $\mathbf{x}$ (m) là chiều dài của ba cạnh rào song song nhau (vuông góc với sông).

Gọi $\mathbf{L}$ (m) là chiều dài của cạnh rào song song với sông.

1. Ràng buộc chi phí: $\mathbf{3x \cdot 50\ 000 + L \cdot 60\ 000 = 15\ 000\ 000}$. Rút $\mathbf{L}$ theo $\mathbf{x}$.

2. Hàm Diện tích: Tổng diện tích hai khu đất là $\mathbf{S = x \cdot L}$. Biểu diễn $\mathbf{S}$ theo biến $\mathbf{x}$.

3. Tìm GTLN: Dùng đạo hàm $\mathbf{S'(x)}$ để tìm điểm cực trị.

Lời giải chi tiết:

Tổng chi phí: $\mathbf{150\ 000x + 60\ 000L = 15\ 000\ 000}$

Chia cả hai vế cho $10\ 000$:

Rút gọn $L$:

Điều kiện: $\mathbf{x > 0}$ và $\mathbf{L > 0 \Leftrightarrow x < 100}$.

Miền xác định $\mathbf{x \in (0; 100)}$.

Tổng diện tích hai khu đất: $\mathbf{S = x \cdot L}$.

Trên khoảng (0; 100), S'(x) = 0 khi x = 50.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 100), hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 6 250 tại x = 50.

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là 6 250 m².