Bài 6 trang 46 Toán 12 tập 1 Cánh Diều

12:21:3731/03/2024

Bài toán yêu cầu tìm tất cả các đường tiệm cận ngang (TCN) và tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị các hàm số. Ta sử dụng giới hạn tại vô cực ( $\mathbf{x \to \pm\infty}$ ) để tìm TCN và giới hạn tại các điểm làm mẫu số bằng không ( $\mathbf{x \to x_0^\pm}$ ) để tìm TCĐ.

Đề bài:

Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y=\frac{5x+1}{3x-2}$

b) $y=\frac{2x^3-3x}{x^3+1}$

c) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Tiệm cận ngang (TCN): Tính $\mathbf{\lim_{x \to \pm\infty} y}$ . Đường thẳng $\mathbf{y = L}$ là TCN nếu $\mathbf{\lim_{x \to \pm\infty} y = L}$ .
Tiệm cận đứng (TCĐ): Tìm nghiệm của mẫu số ( $x_0$ ). Đường thẳng $\mathbf{x = x_0}$ là TCĐ nếu $\mathbf{\lim_{x \to x_0^\pm} y = \pm\infty}$ .
Hàm số có căn (C): Phải xác định tập xác định trước. Khi tính TCN, lưu ý $\mathbf{\sqrt{x^2} = x}$ khi $\mathbf{x \to +\infty}$ và $\mathbf{\sqrt{x^2} = -x}$ khi $\mathbf{x \to -\infty}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{5x+1}{3x-2}$

Tập xác định của hàm số là R\{2/3}

Ta có:

$\lim_{x\rightarrow \frac{2}{3}^+}y=\lim_{x\rightarrow \frac{2}{3}^+}\frac{5x+1}{3x-2}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow \frac{2}{3}^-}y=\lim_{x\rightarrow \frac{2}{3}^-}\frac{5x+1}{3x-2}=+\infty$

Nên x = 2/3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1}{3x-2}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{5x+1}{3x-2}=\frac{5}{3}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y= \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{5x+1}{3x-2}=\frac{5}{3}$

Nên y = 5/3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{5x+1}{3x-2}$

b) $y=\frac{2x^3-3x}{x^3+1}$

Tập xác định của hàm số là R\{-1}

Ta có:

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x^3}}=2$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x^3}}=2$

Nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^-}y=\lim_{x\to-1^-}\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=+\infty$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-1^+}y=\lim_{x\to-1^+}\frac{2x^3-3x}{x^3+1}=-\infty$

nên đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) $y=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

Tập xác định của hàm số là (– ∞; – 2) ∪ (2; + ∞).

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$ $\small=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=1$

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$ $\small=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=-1$

Nên các đường thẳng y = 1 và y = – 1 là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\small\:\displaystyle\lim_{x\to-2^-}y=\lim_{x\to-2^-}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty$

$\small\:\lim_{x\to2^+}y=\lim_{x\to2^+}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=+\infty$

Nên các đường thẳng x = – 2 và x = 2 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Việc tìm tiệm cận của đồ thị hàm số được thực hiện bằng cách tính giới hạn tại vô cực và tại các điểm làm mẫu số bằng không.

Hàm số A. $\mathbf{y = \frac{5x + 1}{3x - 2}}$ có một tiệm cận ngang $\mathbf{y = \frac{5}{3}}$ và một tiệm cận đứng $\mathbf{x = \frac{2}{3}}$ .
Hàm số B. $\mathbf{y = \frac{2x^3 - 3x}{x^3 + 1}}$ có một tiệm cận ngang $\mathbf{y = 2}$ và một tiệm cận đứng $\mathbf{x = -1}$ .
Hàm số C. $\mathbf{y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}}$ có hai tiệm cận ngang $\mathbf{y = 1}$ và $\mathbf{y = -1}$ (do tính chất $\mathbf{\sqrt{x^2} = \pm x}$ ) và hai tiệm cận đứng $\mathbf{x = 2}$ và $\mathbf{x = -2}$ .