Các dạng bài tập toán đồ thị hàm số lớp 9 - Toán 9 chuyên đề

Trong bài viết này, HayHocHoi sẽ giúp các em hệ thống lại các dạng bài tập đồ thị hàm số lớp 9 phổ biến nhất cùng phương pháp giải chi tiết.

Dạng 1: Chứng minh điểm thuộc đồ thị hàm số hoặc đồ thị đi qua điểm

1. Phương pháp giải

Để kiểm tra một điểm $M(x_0; y_0)$ có thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$ hay không, ta thực hiện:

• Thay tọa độ điểm $M$ (tức là thay $x = x_0$ và $y = y_0$) vào công thức hàm số.

• Nếu nhận được một đẳng thức đúng, thì điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số.

• Nếu nhận được một đẳng thức sai, thì điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = 2x^2$. Các điểm sau đây có thuộc đồ thị hàm số không?

a) $M(-2; 8)$

b) $N(3; 9)$

Lời giải:

a) Thay tọa độ $M(-2; 8)$ vào hàm số $y = 2x^2$:

$8 = 2 \cdot (-2)^2 \Leftrightarrow 8 = 8$ (Đúng). Vậy $M$ thuộc đồ thị hàm số.

b) Thay tọa độ $N(3; 9)$ vào hàm số $y = 2x^2$:

$9 = 2 \cdot (3)^2 \Leftrightarrow 9 = 18$ (Sai). Vậy $N$ không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = 5x - m$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua:

a) $P(1; 3)$

b) $Q(-2; 4)$

Lời giải:

a) Đồ thị đi qua $P(1; 3) \Leftrightarrow 3 = 5 \cdot 1 - m \Leftrightarrow m = 5 - 3 = 2$.

b) Đồ thị đi qua $Q(-2; 4) \Leftrightarrow 4 = 5 \cdot (-2) - m \Leftrightarrow m = -10 - 4 = -14$.

Dạng 2: Tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)

1. Phương pháp giải

Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị, ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: $f(x) = g(x)$ $(*)$.

• Bước 2: Giải phương trình $(*)$ để tìm $x$. Số nghiệm của $(*)$ tương ứng với số giao điểm.

• Bước 3: Thay giá trị $x$ tìm được vào một trong hai công thức hàm số ban đầu để tìm $y$.

• Bước 4: Kết luận tọa độ giao điểm là $(x; y)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của $(P): y = \frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2x - 2$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:

Với $x = 2 \Rightarrow y = 2 \cdot 2 - 2 = 2$. Vậy giao điểm là $M(2; 2)$.

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của hai đường cong $y = 2x^2 - 3x + 9$ và $y = x^3 + 2x^2 + 5x + 9$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Vì $x^2 + 8 > 0$ với mọi $x$, nên phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Với $x = 0 \Rightarrow y = 9$. Vậy giao điểm là $M(0; 9)$.

Dạng 3: Tìm điều kiện tương giao giữa đường thẳng và Parabol

1. Phương pháp giải

Xét sự tương giao giữa $(P): y = ax^2$ ($a \neq 0$) và đường thẳng $(d): y = kx + b$.

Lập phương trình hoành độ giao điểm: $ax^2 - kx - b = 0$ $(*)$.

• $(*)$ vô nghiệm ($\Delta < 0$): $(d)$ và $(P)$ không có điểm chung.

• $(*)$ có nghiệm kép ($\Delta = 0$): $(d)$ và $(P)$ tiếp xúc nhau tại 1 điểm.

• $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt ($\Delta > 0$): $(d)$ và $(P)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Xét sự tương giao của $(P): y = 3x^2$ với các đường thẳng:

a) $(d_1): y = -2x + 5$

b) $(d_2): y = 6x - 3$

c) $(d_3): y = x - 7$

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ: $3x^2 + 2x - 5 = 0$. Có $a + b + c = 3 + 2 - 5 = 0 \Rightarrow$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $(P)$ cắt $(d_1)$ tại 2 điểm.

b) Phương trình hoành độ: $3x^2 - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3(x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nghiệm kép). Vậy $(P)$ và $(d_2)$ tiếp xúc nhau.

c) Phương trình hoành độ: $3x^2 - x + 7 = 0$. Có $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = -83 < 0 \Rightarrow$ vô nghiệm. Vậy $(P)$ và $(d_3)$ không cắt nhau.

III. Bài tập tự luyện nâng cao

Bài tập 1: Cho Parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = (2m - 1)x - m + 2$.

a) Chứng minh $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

b) Tìm $m$ để các giao điểm $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ thỏa mãn $x_1y_1 + x_2y_2 = 0$.

Bài tập 2: Cho $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = mx + 4$.

a) Khi $m = 3$, tìm tọa độ giao điểm.

b) Chứng minh $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$. Tìm $m$ để $y_1^2 + y_2^2 = 72$.

Bài tập 3: Cho $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2(m + 1)x - 3m + 2$.

a) Tìm tọa độ giao điểm khi $m = 3$.

b) Chứng minh $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

c) Gọi $x_1, x_2$ là hoành độ giao điểm, tìm $m$ để $x_1^2 + x_2^2 = 20$.