Các dạng bài tập toán đồ thị hàm số lớp 9 - Toán 9 chuyên đề

Vậy bài tập về đồ thị hàm số lớp 9 gồm những dạng toán nào? cách giải các dạng bài tập toán đồ thị hàm số ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

° Dạng 1: Chứng minh điểm thuộc đồ thị hàm số hay đồ thị hàm số đi qua điểm

* Phương pháp:

- Để kiểm tra điểm M(x₀;y₀) có thuộc đồ thị hàm số không ta thay tọa độ của M vào công thức hàm số.

- Nếu được đẳng thức đúng thì điểm M thuộc đồ thị hàm số, nếu được đẳng thức sai thì điểm M không thuộc đồ thị hàm số.

* Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = 2x², hãy cho biết các điểm sau đây có thuộc đồ thị của hàm số không ?

a) M(-2;8)      b) N(3; 9)

* Lời giải:

a) Ta thay tọa độ điểm M(-2;8) vào công thức của hàm số f(x) = 2x² ta được:

 8 = 2.(-2)² ⇔ 8 = 8 (đúng)

Vậy điểm M thuộc đồ thị của hàm số.

a) Ta thay tọa độ điểm N(3; 9) vào công thức của hàm số f(x) = 2x² ta được:

 9 = 2.(3)² ⇔ 9 = 18 (sai)

Vậy điểm N không thuộc đồ thị của hàm số

* Ví dụ 2: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 5x - m. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua:

a) P(1; 3)     b) Q(-2; 4)

* Lời giải:

a) Để đồ thị hàm số y = 5x - m đi qua P(1; 3)

 ⇔ 3 = 5.1 - m

 ⇔ 3 = 5 - m

 ⇔ m = 2

Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số y = 5x - m đi qua P(1; 3)

a) Để đồ thị hàm số y = 5x - m đi qua Q(-2; 4)

 ⇔ 4 = 5.(-2) - m

 ⇔ 4 = -10 - m

 ⇔ m = -14

Vậy với m = -14 thì đồ thị hàm số y = 5x - m đi qua Q(-2; 4)

° Dạng 2: Tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).

* Phương pháp:

Để tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) ta làm như sau 

- Lập phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x)  (*)

- Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)  

- Thay nghiệm x của phương trình (*) vào công thức y = f(x) hoặc y = g(x)  tìm y.

Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) là (x;y)

* Ví dụ 1: Cho (P): và đường thẳng (d): y = 2x - 2. Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng (d).

* Lời giải:

- Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

 ⇔ x² = 4x - 4

 ⇔ x² - 4x + 4 = 0

 ⇔ (x - 2)² = 0

 ⇔ x - 2 = 0

 ⇔ x = 2

Ta thay x = 2 vào phương trình đường thẳng y = 2x – 2 ta được

 y = 2.2 - 2 =2

Vậy (P) cắt đường thẳng (d) tại một điểm M(2;2).

* Ví dụ 2: Cho hai đường cong có phương trình là y = 2x² – 3x + 9 và y = x³ + 2x² + 5x + 9. Tìm giao điểm của hai đường cong trên.

* Lời giải:

- Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:

 2x² – 3x + 9 = x³ + 2x² + 5x + 9

 ⇔ x³ + 2x² + 5x + 9 - 2x² + 3x - 9 = 0

 ⇔ x³ + 8x = 0

 ⇔ x(x² + 8) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x² + 8 =0

 ⇔ x = 0

 Ta thay x = 0 vào phương trình đường cong y = 2x² – 3x + 9 ta được y = 9

Vậy hai đường cong cắt nhau tại một điểm M(0;9)

° Dạng 3: Tìm điều kiện để đường thẳng và parabol tiếp xúc nhau, cắt nhau

* Phương pháp:

Cho (P) y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng y = kx + b 

Lập phương trình hoành độ giao điểm : ax² = kx + b⇔ ax² - kx – b = 0 (*)

- Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì parabol và đường thẳng không có điểm chung⇒ parabol và đường thẳng không cắt nhau

- Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì parabol và đường thẳng có một điểm chung⇒ parabol và đường thẳng tiếp xúc nhau

- Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì parabol và đường thẳng có hai điểm chung⇒ parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

* Ví dụ: Xét sự tương giao giữa (P) y = 3x² với các đường thẳng sau đây

a) Đường thẳng d₁: y = -2x + 5

b) Đường thẳng d₂: y = 6x - 3

c) Đường thẳng d₃: y = x - 7

* Lời giải:

a) Xét phương trình hoàng độ giao điểm giữa (P) và (d₁):

  3x² = -2x + 5  (*)

 ⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

Phương trình (*) là phương trình bậc hai có a + b + c = 3 + 2 – 5 = 0 nên có hai nghiệm phân biệt: x₁ = 1, x₂ = c/a = -5/3.

Vậy (P) và d₁ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Xét phương trình hoàng độ giao điểm giữa (P) và (d₂):

  3x² = 6x - 3  (*)

 ⇔ 3x² - 6x + 3 = 0

 ⇔ 3(x² - 2x + 1) = 0 

 ⇔ 3(x - 1)² = 0 

 ⇔ x = 1

Vậy (P) và d₂ tiếp xúc nhau

b) Xét phương trình hoàng độ giao điểm giữa (P) và (d₃):

  3x² = x - 7

⇔ 3x² - x + 7 = 0  (*)

Ta thấy phương trình (*) là phương trình bậc hai có

 ∆ = (-1)² – 4.3.7 = -83 < 0 nên (*) vô nghiệm 

Vậy (P) và d₃ không cắt nhau

* Bài tập 1: Cho Parabol (P): y= x² và đường thẳng d: y = (2m-1)x - m + 2 (m là tham số) 

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thỏa x₁y₁ + x₂y₂ = 0

* Bài tập 2: Cho hai hàm số y= x² và y = mx + 4 (m là tham số)

a) Khi m = 3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y₁)² + (y₂)² = 7².

* Bài tập 3: Cho parabol (P): y= x²  và đường thẳng (d) có phương trình: 

y = 2(m + 1)x - 3m + 2

a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m = 3.

b) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi m.

c) Gọi x₁; x₂ là hoành độ giao điểm của A và B. Tìm m để (x₁)² + (x₂)² = 20.