Các dạng toán Phương trình bậc 2 một ẩn, cách giải và tính nhẩm nghiệm nhanh (cực hay) - Toán lớp 9

Bài viết này sẽ tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn công thức nghiệm, cách nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et và các dạng toán thực tế giúp các em tự tin chinh phục mọi kỳ thi.

I. Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc 2 một ẩn

1. Phương trình bậc nhất: $ax + b = 0$

• Nếu $a \neq 0$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = -b/a$.

• Nếu $a = 0, b \neq 0$: Phương trình vô nghiệm.

• Nếu $a = 0, b = 0$: Phương trình có vô số nghiệm.

2. Phương trình bậc 2: $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)

a) Công thức nghiệm tổng quát

Tính $\Delta = b^2 - 4ac$:

• $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}; x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

• $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{-b}{2a}$

• $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm.

b) Công thức nghiệm thu gọn (Khi $b = 2b'$)

Tính $\Delta' = b'^2 - ac$:

• $\Delta' > 0$: Phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = \frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}; x_{2} = \frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$

• $\Delta' = 0$: Phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{-b'}{a}$

• $\Delta' < 0$: Phương trình vô nghiệm.

c) Định lý Vi-ét (Thuận và Đảo)

Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) có 2 nghiệm $x_1, x_2$:

• Tổng nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -b/a$

• Tích nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = c/a$

Ứng dụng tính nhanh biểu thức:

• $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P$

• $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = S^3 - 3SP$

• $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{S^2 - 4P}$

Định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số có $x + y = S$ và $x \cdot y = P$ thì chúng là nghiệm của phương trình $X^2 - SX + P = 0$ (ĐK: $S^2 - 4P \geq 0$).

d) Quy tắc tính nhẩm nghiệm nhanh

• Nếu $a + b + c = 0$: $x_1 = 1; x_2 = c/a$.

• Nếu $a - b + c = 0$: $x_1 = -1; x_2 = -c/a$.

e) Xác định dấu của nghiệm số

• Hai nghiệm trái dấu: $P < 0$ (tương đương $a \cdot c < 0$).

• Hai nghiệm cùng dấu: $\Delta \geq 0$ và $P > 0$.

  • Cùng dương: $S > 0$ và $P > 0$.

  • Cùng âm: $S < 0$ và $P > 0$.

• Hai nghiệm đối nhau: $S = 0$ (và $\Delta \geq 0$).

• Hai nghiệm nghịch đảo nhau: $P = 1$ (và $\Delta \geq 0$).

II. Các dạng toán Phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn

Phương pháp:

• Trường hợp 1 (Khuyết $b$): Chuyển vế đưa về $x^2 = a$.

• Trường hợp 2 (Khuyết $c$): Đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

• Trường hợp 3 (Đầy đủ): Dùng công thức nghiệm hoặc nhẩm nghiệm.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

b) $x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -4$.

c) $x^2 - 5x + 4 = 0$.

• Cách 1: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=3$. Nghiệm $x_1 = 1; x_2 = 4$.

• Cách 2: $a+b+c = 1 - 5 + 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 4$.

Dạng 2: Phương trình đưa về bậc 2 (Đặt ẩn phụ)

a) Phương trình trùng phương: $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ($a \neq 0$)

• Phương pháp: Đặt $t = x^2$ ($t \geq 0$), đưa về $at^2 + bt + c = 0$.

  Ví dụ: Giải $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$.

  Đặt $t = x^2$ ($t \geq 0$) $\Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0$. Vì $a+b+c=0 \Rightarrow t=1, t=2$.

• $t=1 \Rightarrow x = \pm 1$.

• $t=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Phương pháp: Tìm ĐKXĐ, quy đồng khử mẫu và giải. Kiểm tra điều kiện nghiệm.

  Ví dụ: Giải $\frac{x+2}{x-3} - 9 = \frac{6}{2-x}$ (ĐK: $x \neq 3, x \neq 2$).

  Quy đồng khử mẫu: $(x+2)(2-x) - 9(x-3)(2-x) = 6(x-3) \Leftrightarrow 8x^2 - 51x + 76 = 0$.

  Tính $\Delta = 169 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=13$. Nghiệm: $x_1 = 19/8$ và $x_2 = 4$ (Thỏa mãn ĐK).

Dạng 3: Giải và biện luận số nghiệm theo tham số $m$

Phương pháp: Tính $\Delta$ theo tham số. Xét các trường hợp $\Delta > 0$ (2 nghiệm), $\Delta = 0$ (nghiệm kép), $\Delta < 0$ (vô nghiệm).

Ví dụ: Giải biện luận theo $m$: $mx^2 - 5x - m - 5 = 0$.

• TH1: $m = 0$: $-5x - 5 = 0 \Rightarrow x = -1$.

• TH2: $m \neq 0$: $\Delta = (2m+5)^2$.

  • $\Delta = 0 \Rightarrow m = -5/2 \Rightarrow x = -1$.

  • $\Delta > 0 \Rightarrow m \neq -5/2, m \neq 0$: $x_{1,2} = \frac{5 \pm (2m+5)}{2m}$.

Dạng 4: Xác định tham số $m$ thỏa mãn điều kiện nghiệm số

Phương pháp:

• Giải PT tìm $x_1, x_2$ theo $m$ (nếu cần).

• Sử dụng bảng xét dấu và các điều kiện tổng quát (nghiệm dương, âm, trái dấu...).

Lưu ý: "2 nghiệm phân biệt" xét $\Delta > 0$; "có 2 nghiệm" xét $\Delta \geq 0$

• Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax² + bx + c = 0 (a≠0) có:

 1. Có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0

 2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0

 5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔  Δ ≥ 0 và P > 0

 6. Hai nghiệm trái dấu  ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0

 7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0

 8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0

 9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1

 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  ⇔ a.c < 0 và S < 0

 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0.

Ví dụ: Cho $x^2 + mx + m + 3 = 0$ (*).

a) Giải PT với $m = -2$:

Thế $m=-2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ (nghiệm kép).

b) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm thỏa $x_1^2 + x_2^2 = 9$:

• ĐK có nghiệm: $\Delta = m^2 - 4m - 12 \geq 0$.

• Theo Vi-et: $S = -m, P = m+3$.

• $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = m^2 - 2(m+3) = 9 \Leftrightarrow m^2 - 2m - 15 = 0$.

• Giải ra $m=5$ (loại vì $\Delta = -7 < 0$) và $m=-3$ (nhận vì $\Delta = 9 > 0$).

c) Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm thỏa $2x_1 + 3x_2 = 5$:

• Giải hệ: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -m \\ 2x_1 + 3x_2 = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = -3m-5 \\ x_2 = 2m+5 \end{cases}$.

• Thế vào $x_1x_2 = m+3 \Rightarrow (-3m-5)(2m+5) = m+3 \Leftrightarrow 6m^2 + 26m + 28 = 0$.

• Giải ra $m = -2$ hoặc $m = -7/3$. Thử lại ĐK $\Delta$ đều thỏa mãn.

Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải

Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?

* Lời giải:

- Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5

- Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có: x(x+5) = 150

 ⇔ x² + 5x - 150 = 0

$\Delta = 5^{2}-4(-150)=625> 0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=25$

- Phương trình có nghiệm x₁ = 10; x₂ = -15

- Vậy có 2 cặp số thỏa là: (10; 15) và (-15; -10)

III. Bài tập có lời giải

Bài 1: Giải các phương trình bậc hai cơ bản (Dạng khuyết)

Đề bài: Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 8 = 0$

b) $5x^2 - 20 = 0$

c) $0,4x^2 + 1 = 0$

d) $2x^2 + x\sqrt{2} = 0$

e) $-0,4x^2 + 1,2x = 0$

Lời giải chi tiết:

• a) $x^2 - 8 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 8 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{8} \Leftrightarrow \mathbf{x = \pm 2\sqrt{2}}$

• b) $5x^2 - 20 = 0 \Leftrightarrow 5x^2 = 20 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow \mathbf{x = \pm 2}$

• c) $0,4x^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow 0,4x^2 = -1 \Leftrightarrow x^2 = -2,5$. Vì $x^2 \ge 0$ với mọi $x$ nên phương trình vô nghiệm.

• d) $2x^2 + x\sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x\sqrt{2}(x\sqrt{2} + 1) = 0$

  $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x\sqrt{2} + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \mathbf{\left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = -1/\sqrt{2} \end{array} \right.}$

• e) $-0,4x^2 + 1,2x = 0 \Leftrightarrow 0,4x(-x + 3) = 0$

  $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0,4x = 0 \\ -x + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \mathbf{\left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} \right.}$

Bài 2: Giải phương trình bằng công thức nghiệm

Đề bài: Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau:

a) $2x^2 - 7x + 3 = 0$

b) $6x^2 + x + 5 = 0$

c) $6x^2 + x - 5 = 0$

d) $3x^2 + 5x + 2 = 0$

e) $y^2 - 8y + 16 = 0$

f) $16z^2 + 24z + 9 = 0$

Lời giải chi tiết:

• a) $2x^2 - 7x + 3 = 0$ ($a=2, b=-7, c=3$)

  $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4.2.3 = 49 - 24 = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5$.

  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

  $x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}; \quad x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = \mathbf{3}$

• b) $6x^2 + x + 5 = 0$. Ta có $\Delta = 1^2 - 4.6.5 = -119 < 0$. Vậy PT vô nghiệm.

• c) $6x^2 + x - 5 = 0$. Có $a - b + c = 6 - 1 + (-5) = 0 \Rightarrow \mathbf{x_1 = -1; x_2 = 5/6}$

• d) $3x^2 + 5x + 2 = 0$. Có $a - b + c = 3 - 5 + 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x_1 = -1; x_2 = -2/3}$

• e) $y^2 - 8y + 16 = 0$. Có $\Delta' = (-4)^2 - 1.16 = 0 \Rightarrow$ PT có nghiệm kép $y = 4$.

• f) $16z^2 + 24z + 9 = 0$. Có $\Delta' = 12^2 - 16.9 = 0 \Rightarrow$ PT có nghiệm kép $z = -3/4$.

IV. Hệ thống Bài tập Luyện tập nâng cao

Bài 1: Giải các phương trình bậc hai

a) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$

b) $x^2 - 6x + 14 = 0$

c) $2\sqrt{3}x^2 + x + 1 = \sqrt{3}x + 1$

d) $16x^2 - 40x + 25 = 0$

e) $x^2 + 2\sqrt{2}x + 4 = 3x + \sqrt{2}$

Bài 2: Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm

a) $3x^2 - 11x + 8 = 0$

b) $x^2 - (1 + \sqrt{3})x + \sqrt{3} = 0$

c) $5x^2 + 24x + 19 = 0$

d) $x^2 - 12x + 27 = 0$

e) $x^2 - 10x + 21 = 0$

f) $(1 - \sqrt{2})x^2 - 2(1 + \sqrt{2})x + 1 + 3\sqrt{2} = 0$

Bài 3: Ứng dụng hệ thức Vi-ét (không giải phương trình)

Cho phương trình $x^2 - 3x - 7 = 0$. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

1. $A = \frac{1}{x_1 - 1} + \frac{1}{x_2 - 1}$

2. $B = x_1^2 + x_2^2$

3. $C = x_1^3 + x_2^3$

4. $D = x_1^4 + x_2^4$

5. $E = (3x_1 + x_2)(x_1 + 3x_2)$

Bài 4: Tính giá trị biểu thức phân thức

Cho phương trình $3x^2 + 5x - 6 = 0$. Tính:

1. $A = \frac{x_2}{x_1 - 1} + \frac{x_1}{x_2 - 1}$

2. $B = \frac{x_1 + 2}{x_1} + \frac{x_2 + 2}{x_2}$

Bài 5: Bài toán tham số m

Cho phương trình $(2m - 1)x^2 - 2mx + 1 = 0$. Xác định giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm thuộc khoảng $(-1; 0)$.

Bài 6: Biện luận và tính giá trị nhỏ nhất của tham số m

Cho phương trình ẩn $x$: $x^2 - mx + m - 1 = 0$ ($m$ là tham số).

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm $x_1, x_2$ với mọi giá trị của $m$.

2. Đặt $A = x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2$.

   a) Chứng minh: $A = m^2 - 8m + 8$.

   b) Tìm $m$ sao cho $A = 8$.

   c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$ và giá trị $m$ tương ứng.

   d) Tìm $m$ sao cho $x_1 = 3x_2$.