Cách tìm Hệ số góc của đường thẳng, Công thức tính góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox, bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

18:33:3429/07/2022

Trong chương trình Toán lớp 9, khái niệm hệ số góc đóng vai trò quan trọng giúp xác định độ nghiêng của đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em cách xác định hệ số góc, công thức tính góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox, cùng các dạng bài tập vận dụng chi tiết.

I. Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d): y = ax + b$ ( $a \neq 0$ ). Gọi $A$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox$ .

Góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $(d)$ và trục $Ox$ được hiểu là góc tạo bởi tia $Ax$ và tia $AT$ (với $T$ là một điểm thuộc đường thẳng $(d)$ và có tung độ dương).

II. Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ ( $a \neq 0$ )

Độ lớn của góc $\alpha$ phụ thuộc hoàn toàn vào hệ số $a$ :

Khi $a > 0$ : Góc $\alpha$ là góc nhọn. Nếu $a$ càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn (nhưng luôn nhỏ hơn $90^\circ$ ).
- Công thức: $\tan \alpha = a$ .
Khi $a < 0$ : Góc $\alpha$ là góc tù. Nếu $|a|$ càng lớn thì góc $\alpha$ càng nhỏ (nhưng luôn lớn hơn $90^\circ$ ).
- Công thức: $\tan(180^\circ - \alpha) = |a|$ hoặc $\tan(180^\circ - \alpha) = -a$ .

Định nghĩa: Người ta gọi $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ .

* Lưu ý:

• Khi a>0 $a > 0,$ ta có tanα = a.

• Khi a<0, ta có tan(180⁰ - α)= -a.

Từ đó tìm được số đo của góc 180⁰ - α rồi suy ra số đo của góc α.

• Các đường thẳng có cùng hệ số a (với a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Hệ số góc cùa đường thẳng

III. Các dạng bài tập vận dụng chi tiết

Dạng 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp: Đường thẳng có dạng $y = ax + b$ thì $a$ chính là hệ số góc.

Ví dụ: Hệ số góc của đường thẳng $y = -5x + 3$ là $a = -5$ .

Bài tập 1: Cho hàm số $y = ax - 5$ . Tìm hệ số góc $a$ biết đồ thị hàm số đi qua điểm $M(3; 4)$ .

Lời giải: Thay tọa độ $M(3; 4)$ vào hàm số: $4 = a \cdot 3 - 5 \Leftrightarrow 3a = 9 \Leftrightarrow a = 3$ . Vậy hệ số góc là $a = 3$ .

Bài tập 2: Xác định hệ số góc $a$ của $(d): y = ax - 2$ biết $(d)$ cắt đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ .

Lời giải: Với $x = 2$ , tung độ giao điểm là $y = 2(2) + 1 = 5$ . Thay tọa độ $(2; 5)$ vào $(d)$ : $5 = a \cdot 2 - 2 \Leftrightarrow 2a = 7 \Leftrightarrow a = 3,5$ .

Bài tập 3: Xác định $a$ của $y = ax - 4$ biết nó cắt $y = -3x - 1$ tại điểm có tung độ bằng $-2$ .

Lời giải: Thay $y = -2$ vào $y = -3x - 1 \Rightarrow -2 = -3x - 1 \Rightarrow x = 1/3$ . Thay $(1/3; -2)$ vào phương trình đầu: $-2 = a(1/3) - 4 \Rightarrow a/3 = 2 \Rightarrow a = 6$ .

Dạng 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox

Phương pháp: Sử dụng tỉ số lượng giác $\tan$ trong tam giác vuông hoặc công thức trực tiếp $\tan \alpha = a$ .

Ví dụ: Góc tạo bởi trục Ox và đường thẳng (d): $y=\sqrt{3}x-2$ là α;

Khi đó: tan\alpha =a=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60^0

Bài tập 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -2x + 3 với trục Ox (làm tròn đến phút)

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = - 2x + 3 trên hệ trục Oxy như sau: Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox Gọi $\alpha$ là góc cần tìm. Vì $a = -2 < 0$ nên $\alpha$ là góc tù.

Ta có: $\tan(180^\circ - \alpha) = |-2| = 2 \Rightarrow 180^\circ - \alpha \approx 63^\circ26'$

$\tan(180^\circ - \alpha) = |-2| = 2 \Rightarrow 180^\circ - \alpha \approx 63^\circ26'$ .

Vậy $\alpha \approx 180^\circ - 63^\circ26' = 116^\circ34'$ .

Bài tập 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng $y = x + 5$ và trục $Ox$ .

Lời giải:

• Cách giải 1:

Theo bài ra, ta có: a=1

- Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng y=x+5 với trục Ox: tanα=1

⇒ α = 45⁰

• Cách giải 2:

Với x = 0 thì y = 5 suy ra đồ thi đi qua điểm A(0;5)

Với y = 0 thì x = -5 suy ra đồ thi đi qua điểm B(-5;0)

- Góc tạo bởi đường thẳng y=x+5 với trục Ox là: $\small \widehat{ABO}$

Ta có: $tan\widehat{ABO}=\frac{OA}{OB}=\frac{5}{5}=1$

⇒ α = 45⁰

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc

Phương pháp:

Gọi phương trình đường thẳng là $y = ax + b$ .
Thay giá trị hệ số góc $a$ đã biết.
Sử dụng các dữ kiện khác (điểm đi qua, cắt trục tọa độ...) để tìm $b$ .

IV. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và

a) Đi qua điểm M(1;2)

b) Đi qua điểm N(-2;1)

Bài tập 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng y=2x+4 và trục Ox

Bài tập 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y=-x+1 và trục Ox

Bài tập 4: Tính góc tạo bởi đường thẳng y=x-3 và trục Ox

Bài tập 5: Tính góc tạo bởi đường thẳng y=2x+3 và trục Ox

Hy vọng bài viết về cách tìm hệ số góc và tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox đã giúp các em nắm vững kiến thức chuyên đề này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em hãy để lại bình luận bên dưới bài viết trên hayhochoi.vn để được hỗ trợ nhé. Chúc các em học tốt!

» Đừng bỏ lỡ:

Các dạng bài tập đồ thị hàm số 9 (cực hay)

Viết phương đường thẳng đi qua 2 điểm (dễ hiểu nhất)