Cách chứng minh các điểm (4 điểm) cùng thuộc một đường tròn - Toán 9 chuyên đề

I. Phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Có hai phương pháp chính để chứng minh nhiều điểm (thường là 4 điểm) cùng thuộc một đường tròn:

1. Sử dụng định nghĩa (Cách đều một điểm)

Chứng minh rằng các điểm đó cùng cách đều một điểm $O$ cố định. Điểm $O$ này chính là tâm của đường tròn.

• Ví dụ: Chứng minh $OA = OB = OC = OD = R$.

2. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp

Chứng minh tứ giác tạo bởi 4 điểm đó là tứ giác nội tiếp. Một số dấu hiệu nhận biết phổ biến:

• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.

• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau (thường là góc vuông).

• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

Mở rộng: Để chứng minh 5 điểm $A, B, C, D, E$ cùng thuộc một đường tròn, ta có thể chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ và 4 điểm $A, B, C, E$ cùng thuộc một đường tròn tâm $O$.

Dưới đây là một số ví dụ minh họa chi tiết.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Chứng minh 5 điểm cùng thuộc đường tròn

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Từ $M$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$ kẻ $MD \perp AB$, $ME \perp AC$. Chứng minh 5 điểm $A, D, M, H, E$ cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải:

- Theo bài ra, có có hình sau:

• Xét tam giác $ADM$ vuông tại $D$ có cạnh huyền $AM$.

• Xét tam giác $AEM$ vuông tại $E$ có cạnh huyền $AM$.

• Xét tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có cạnh huyền $AM$.

  Các tam giác vuông này đều chung cạnh huyền $AM$. Theo tính chất tam giác vuông, đỉnh góc vuông luôn cách đều trung điểm cạnh huyền.

  Do đó, 5 điểm $A, D, M, H, E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AM$, với tâm là trung điểm của $AM$.

Ví dụ 2: Chứng minh điểm đối xứng

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua cạnh $BC$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

- Ta có hình vẽ như sau:

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $BC$ nên $\triangle BDC = \triangle BAC$ (tính chất đối xứng).

Suy ra $\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.

Xét hai tam giác vuông $BAC$ và $BDC$ có chung cạnh huyền $BC$.

Hai đỉnh $A$ và $D$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^\circ$ nên $A, D$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

Kết luận: 4 điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên đường tròn tâm là trung điểm của $BC$.

Ví dụ 3: Xác định tâm đường tròn

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên $AC$ lấy điểm $D$. Hình chiếu của $D$ lên $BC$ là $E$, điểm đối xứng của $E$ qua $BD$ là $F$. Chứng minh 5 điểm $A, B, E, D, F$ cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải:

- Ta có hình vẽ như sau:

• Theo giả thiết, $DE \perp BC$ nên $\widehat{BED} = 90^\circ$.

• Vì $E$ và $F$ đối xứng qua $BD$ nên $\triangle BFD = \triangle BED$ (c-c-c) $\Rightarrow \widehat{BFD} = \widehat{BED} = 90^\circ$.

• Gọi $O$ là trung điểm của $BD$.

  1. Trong $\triangle ABD$ vuông tại $A$: $AO = \frac{1}{2}BD = OB = OD$ (1).

  2. Trong $\triangle BDE$ vuông tại $E$: $EO = \frac{1}{2}BD = OB = OD$ (2).

  3. Trong $\triangle BFD$ vuông tại $F$: $FO = \frac{1}{2}BD = OB = OD$ (3).

     Từ (1), (2), (3) suy ra $OA = OB = OD = OE = OF$.

     Kết luận: 5 điểm $A, B, E, D, F$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ (trung điểm của $BD$).

Ví dụ 4: Hình thang cân

Đề bài: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AD // BC$) có $AB = 12\text{cm}, AC = 16\text{cm}, BC = 20\text{cm}$. Chứng minh 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

- Ta có hình minh họa như sau:

Xét $\triangle ABC$ có: $AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 400 = 20^2 = BC^2$.

Nên $\triangle ABC$ vuông tại $A$.

Suy ra $A, B, C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $BD = AC = 16\text{cm}$ và $CD = AB = 12\text{cm}$.

Xét $\triangle BCD$ tương tự có $BD^2 + CD^2 = 16^2 + 12^2 = BC^2$

Nên $\triangle BCD$ vuông tại $D$.

Suy ra $D, B, C$ cũng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Kết luận: 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn bán kính $R = \frac{BC}{2} = 10\text{cm}$.

Ví dụ 5: Xác định tứ giác là hình gì

Đề bài: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^0$

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Gọi O là trung điểm của AC

Vì tam giác ABC vuông tại B nên ba đỉnh A, B, C cùng thuộc đường tròn (O)

Vì tam giác ACD vuông tại D nên ba đỉnh A, C, D cùng thuộc đường tròn (O)

Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O) đường kính AC

b) Nếu BD = AC thì BD là đường kính của (O)

Suy ra \widehat{BAD}=90^0

Vậy tứ giác ABCD có \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{D}=90^0 

Nên ABCD là hình chữ nhật.