Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông có lời giải - Toán lớp 9 chuyên đề

Bài viết dưới đây chúng ta cùng hệ thống lại các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, qua đó vận dụng các công thức này giải một số dạng bài tập minh họa để hiểu rõ hơn, ghi nhớ tốt hơn các hệ thức quan trọng này.

I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông cần nhớ

Cho ΔABC có vuông tại A (góc A bằng 90⁰) như hình sau:

Có: AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, thì:

 • BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

 • CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

 1) AB² = BH.BC hay c² = a.c'

    AC² = CH.BC hay b² = a.b'

 2) AH² = CH.BH hay h² = b'.c'

 3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

 4) 1/(AH)² = 1/(AB)² + 1/(AC)² hay 1/h² = 1/b² + 1/c²

 5) AB² + AC² = BC² hay b² + c² = a² (Định lý Pytago)

» xem thêm: Các dạng toán về tỉ số lượng giác tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay

II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa:

- Cho tam giác ABC (vuông tại A) gồm cạnh đối, cạnh huyền và cạnh kề:

• sinα = Đối/Huyền = AB/BC

• cosα = Kề/Huyền = AC/BC

• tanα = Đối/Kề = AB/AC

• cotα = Kề/Đối = AC/AB

2. So sánh các tỉ số lượng giác

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

• sinα < sinβ; tanα < tanβ

• cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

→ Các bạn có thể tham khảo đầy đủ công thức ở bài viết: Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông

III. Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

* Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong đó AB = 12cm, AC = 9cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.

* Lời giải:

- Theo định lí pitago ta có:

 Vậy, ta có:

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau:

* Bài tâp 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH

> Lời giải:

• Ta đặt HC = x (x>0).

Áp dụng hệ thức AC² = BC.HC, ta được:

⇒ 20² = (9 + x)x

⇔ x² + 9x - 400 = 0

⇔ (x + 25)(x - 16) = 0

⇔ x = -25 (loại) hoặc x = 16

Vậy độ dài của cạnh huyền BC là:

 BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm

- Ta có: AH² = HB.HC = 9.25 = 3².5² = 15² 

Nên chiều dài đường cao AH là: AH = 15 (cm)

* Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

* Lời giải:

- Ta có hình minh họa như sau:

Vẽ AH ⊥ BC, thì ta có:

 AB² = BH.BC ;

 AC² = CH.BC ;

Nên ta có:

(sử dụng tính chất tỉ lệ thức: )

Suy ra: BH = 49.1 = 49;

 CH = 576.1 = 576

* Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c.

Chứng minh rằng: 

* Lời giải:

- Ta vẽ hình như sau:

Từ góc B vẽ tia phân giác BD. Khi đó, ta có:

Theo tính chất tia phân giác ta có: 

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

Vậy ta có điều cần chứng minh.

* Bài tập 5: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α

b) 2(sin⁡α - cos⁡α )² - (sin⁡α + cos⁡α )² + 6sin⁡α.cos⁡α

c) (tan⁡α - cot⁡α )² - (tan⁡α + cot⁡α )²

* Lời giải:

a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α

    = cos² = cos² α(cos² β + sin² β) + sin² α

    = cos² α.1 + sin² α

    = 1

b) 2(sin⁡α - cos⁡α )² - (sin⁡α + cos⁡α )² + 6 sin⁡α.cos⁡α

    = 2(1 - 2sinα.cos⁡α ) - (1 + 2sinα.cos⁡α ) + 6sinα.cos⁡α

    = 1 - 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α

    = 1

c) (tan⁡α - cot⁡α )² - (tan⁡α + cot⁡α )²

    = (tan² α - 2 tan⁡α.cotα + cot² α) - (tan² α + 2 tan⁡α.cotα + cot² α )

    = -4 tan⁡α.cotα

    = -4.1 = -4