Cách giải hệ phương trình chứa căn thức và bài tập vận dụng (đầy đủ) - Toán 9 chuyên đề

Vậy cụ thể, cách giải hệ phương trình chứa căn lớp 9 như thế nào? Chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này và vận dụng giải các bài tập minh họa để hiểu rõ hơn nhé.

I. Phương pháp giải hệ phương trình chứa căn thức

Để giải hệ phương trình chứa căn thức, chúng ta có thể áp dụng một trong các chiến thuật sau:

1. Phương pháp biến đổi tương đương: Sử dụng quy tắc thế hoặc cộng đại số để triệt tiêu ẩn.

2. Phương pháp bình phương hai vế: Nhằm khử dấu căn thức (thường áp dụng khi hai vế không âm).

3. Phương pháp đặt ẩn phụ: Đưa hệ phương trình phức tạp về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc.

⚠️ Chú ý quan trọng: Luôn luôn phải tìm điều kiện xác định để căn thức có nghĩa và đối chiếu điều kiện kỹ lưỡng trước khi kết luận nghiệm cuối cùng của hệ phương trình.

II. Bài tập vận dụng giải hệ phương trình chứa căn thức

Bài tập 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Giải hệ phương trình:

Lời giải:

• Biến đổi hệ về dạng tương đương:

  $$\left\{\begin{matrix} 3x-1 \geq 0 \quad (*) \\ x+3y=3x-1 \quad (1) \\ 5x-y=9 \quad (2) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 1/3 \\ 2x-3y=1 \\ 5x-y=9 \end{matrix}\right.$$

• Xét phương trình (2), ta rút ra: $y = 5x - 9$ (3).

• Thay (3) vào phương trình (1), ta được:

  $2x - 3(5x - 9) = 1$

  $\Leftrightarrow 2x - 15x + 27 = 1$

  $\Leftrightarrow 13x = 26 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn điều kiện (*)).

• Thay $x = 2$ vào phương trình (3), ta được: $y = 5 \cdot 2 - 9 = 1$.

• Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 1)$.

Bài tập 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình:

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $\left\{\begin{matrix} x-1 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 1 \\ y \geq 0 \end{matrix}\right.$

• Đặt ẩn phụ: Đặt $u = \sqrt{x-1}$ và $v = \sqrt{y}$ (điều kiện $u, v \geq 0$).

• Khi đó, hệ phương trình trở thành:

  $$\left\{\begin{matrix} 3u+2v=13 \quad (1) \\ 2u-v=4 \quad (2) \end{matrix}\right.$$

• Từ phương trình (2), ta có: $v = 2u - 4$ (3).

• Thay (3) vào phương trình (1): $3u + 2(2u - 4) = 13 \Leftrightarrow 7u = 21 \Leftrightarrow u = 3$ (thỏa mãn).

• Với $u = 3 \Rightarrow \sqrt{x-1} = 3 \Leftrightarrow x-1 = 9 \Leftrightarrow x = 10$.

• Thay $u = 3$ vào (3) ta được: $v = 2 \cdot 3 - 4 = 2 \Rightarrow \sqrt{y} = 2 \Leftrightarrow y = 4$ (thỏa mãn).

• Kết luận: Hệ có nghiệm $(x; y) = (10; 4)$.

Bài tập 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp bình phương

Giải hệ phương trình:

Lời giải:

• Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x+3 \geq 0 \\ y-1 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq -3 \\ y \geq 1 \end{matrix}\right.$

• Từ phương trình (1) ta có: $y = 2 - x$ (3).

• Thay (3) vào phương trình (2): $\sqrt{x+3} + \sqrt{2-x-1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x+3} + \sqrt{1-x} = 2$.

• Bình phương hai vế:

  $(x+3) + (1-x) + 2\sqrt{(x+3)(1-x)} = 4$

  $\Leftrightarrow 4 + 2\sqrt{(x+3)(1-x)} = 4$

  $\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+3)(1-x)} = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = -3 \\ x = 1 \end{matrix}\right.$

• Với $x = -3 \Rightarrow y = 2 - (-3) = 5$ (thỏa mãn điều kiện).

• Với $x = 1 \Rightarrow y = 2 - 1 = 1$ (thỏa mãn điều kiện).

• Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm: $(x; y) \in \{(-3; 5), (1; 1)\}$.

III. Tổng kết và lưu ý khi làm bài

Để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra chuyên đề hệ phương trình chứa căn, các em cần:

• Luôn kiểm tra tính không âm của hai vế trước khi bình phương.

• Khi đặt ẩn phụ, tuyệt đối không quên đặt điều kiện cho ẩn phụ (thường là $u, v \geq 0$).

• Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra lại nghiệm sau khi giải xong.