Cách giải phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất ax+b=0 và bài tập Toán 8

Bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ hướng dẫn các em cách giải phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất $ax+b=0$ thông qua các bước tối ưu nhất, đi kèm hệ thống ví dụ và bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao.

I. Các Bước Giải Phương Trình Đưa Được Về Dạng $ax + b = 0$

Để giải một phương trình có chứa dấu ngoặc hoặc chứa mẫu số là các hằng số, các em hãy áp dụng quy trình gồm 4 bước cơ bản sau:

• Bước 1 (Quy đồng): Tìm mẫu thức chung và thực hiện quy đồng mẫu số ở cả hai vế của phương trình (nếu phương trình có chứa mẫu số).

• Bước 2 (Khử mẫu): Nhân cả hai vế với mẫu thức chung để triệt tiêu mẫu, đưa phương trình về dạng nguyên. Nếu phương trình có dấu ngoặc, thực hiện nhân đơn thức/đa thức để phá ngoặc.

• Bước 3 (Chuyển vế): Thực hiện chuyển tất cả các hạng tử có chứa ẩn $x$ sang một vế (thường là vế trái) và chuyển tất cả các hằng số tự do sang vế còn lại (vế phải). Lưu ý: Khi chuyển vế phải đổi dấu hạng tử.

• Bước 4 (Thu gọn và kết luận): Thu gọn các hạng tử đồng dạng để đưa về dạng phương trình bậc nhất $ax = -b$ (hoặc $ax + b = 0$) rồi giải tìm $x$.

Các trường hợp đặc biệt khi thu gọn về dạng $0x = c$

Khi thực hiện thu gọn, nếu hệ số của ẩn $x$ bằng $0$ (tức là $a = 0$), các em xét 2 trường hợp sau để biện luận nghiệm:

• Dạng 1: $0x = 0$ $\Rightarrow$ Phương trình luôn đúng với mọi $x$. Kết luận phương trình có vô số nghiệm ($S = \mathbb{R}$).

• Dạng 2: $0x = c$ (với $c \neq 0$) $\Rightarrow$ Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn. Kết luận phương trình vô nghiệm ($S = \emptyset$).

II. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $3x - 2 = 2x - 3$

b) $7 - 2x = 22 - 3x$

c) $x - 12 + 4x = 25 + 2x - 1$

d) $2(x + 3) = 2(x - 4) + 14$

e) $2x - 1 + 2(2 - x) = 1$

Lời giải:

a) $3x - 2 = 2x - 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1\}$.

b) $7 - 2x = 22 - 3x$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{15\}$.

c) $x - 12 + 4x = 25 + 2x - 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{12\}$.

d) $2(x + 3) = 2(x - 4) + 14$

Vì phương trình luôn đúng, vậy phương trình có vô số nghiệm: $S = \mathbb{R}$.

e) $2x - 1 + 2(2 - x) = 1$

Phương trình vô lý, vậy phương trình vô nghiệm: $S = \emptyset$.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau bằng cách phá ngoặc thu gọn: $4(x - 1)^2 + 5 = 4x^2 - 11 + 2x$

Lời giải: Khai triển hằng đẳng thức và thực hiện thu gọn phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$.

Ví dụ 3: Giải phương trình chứa mẫu số hằng số: $3 - \frac{2x + 4}{3} = 2x - \frac{x + 3}{4}$

Lời giải: Quy đồng hai vế với mẫu thức chung là $12$, sau đó khử mẫu:

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1\}$.

III. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao (Có Gợi Ý Đáp Số)

Bài tập 1: Giải các phương trình chứa ngoặc cơ bản:

a) $11 + 8x - 3 = 5x - 3 + x$

b) $3 - 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y$

c) $x + 2x + 3x - 19 = 3x + 5$

d) $4 - 2x + 15 = 9x + 4 - 2x$

Gợi ý đáp số Bài 1:

• a) $x = -5.5$

• b) $y = 0$

• c) $x = 8$

• d) $x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Bài tập 2: Giải các phương trình phân thức (mẫu số là hằng số):

a) $\frac{5x + 2}{6} + \frac{x + 2}{3} = x + 1$

b) $\frac{2x + 8}{5} - 1 = \frac{3x + 5}{4} - \frac{5x - 3}{2}$

Gợi ý đáp số Bài 2:

• a) Quy đồng mẫu số chung là $6$. Đáp số: $x = 0$.

• b) Quy đồng mẫu số chung là $20$. Đáp số: $x = \frac{39}{43}$.

Bài tập 3 (Dạng nâng cao): Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $m$:

Lời giải chi tiết: Khai triển và thu gọn phương trình $(*)$ về dạng phương trình bậc nhất ẩn $x$:

Tiến hành biện luận theo các trường hợp của hệ số $a = 2m + 5$:

• Trường hợp 1: Nếu $2m + 5 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq -\frac{5}{2}$

  Phương trình có một nghiệm duy nhất:

  $$x = \frac{-2(2m + 5)}{2m + 5} = -2$$

• Trường hợp 2: Nếu $2m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{5}{2}$

  Thay vào phương trình ta được dạng: $0x = 0$. Phương trình này luôn đúng với mọi $x$.

Kết luận: * Với $m \neq -\frac{5}{2}$, phương trình có tập nghiệm $S = \{-2\}$.

• Với $m = -\frac{5}{2}$, phương trình có vô số nghiệm ($S = \mathbb{R}$).