Phân thức đại số, khái niệm, tính chất, điều kiện xác định của phân thức đại số? Toán 8 Chân trời tập 1 Bài 5 C1

Khái niệm Phân thức đại số là gì, tính chất của phân thức đại số và điều kiện xác định của phân thức đại số như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Phân thức đại số là gì?

– Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

– A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

* Lưu ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.

* Ví dụ: Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau:

* Lời giải:

Trong các biểu thức trên các biểu thức sau là phân thức đại số: 

Biểu thức không phải là phân thức đại số là:  vì  không phải đa thức.

2. Điều kiện xác định của phân thức

• Điều kiện xác định của phân thức  là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (thỏa mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức đại số tại các giá trị đã cho của biến.

* Ví dụ: Cho các phân thức  và 

a) Viết điều kiện xác định của phân thức A và B.

b) Tính giá trị của phân thức A tại x = 0.

c) Tính giá trị của phân thức B tại x = 0, y = 1 và tại x = –2 và y = –2.

* Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức A là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Điều kiện xác định của phân thức B là x – y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x – y ≠ 0).

b) Khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có:

c) Khi x = 0 và y = 1 thì x – y = –1 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định, ta có: 

Khi x = –2 và y = –2 thì x – y = 0 nên điều kiện xác định không được thỏa mãn.

Vậy giá trị của phân thức B tại x = –2 và y = –2 không xác định.

3. Hai phân thức bằng nhau

Ta nói hai phân thức  và  bằng nhau nếu A . D = B . C.

Khi đó, ta viết $.$

* Ví dụ: Hai phân thức  và  có bằng nhau không? Tại sao?

* Lời giải:

Ta có:

• x.(4x² – 1) = 4x³ – x;

• (2x + 1).(2x² – x) = 2x.(2x² – x) + 1.(2x² – x)

= 4x³ – 2x² + 2x² – x

= 4x³ – x.

Nên có: x.(4x² – 1) = (2x + 1).(2x² – x)

Vậy  hay A = B.

4. Tính chất cơ bản của phân thức

– Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 (C là một đa thức khác đa thức không).

– Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

 (D là một nhân tử chung của A và B).

* Ví dụ: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hãy giải thích vì sao hai phân thức bằng nhau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

b) 

* Nhận xét: Ở ví dụ trên, các phân thức bên phải đều đơn giản hơn các phân thức bên trái. Ta gọi các phép biến đổi ở trên là rút gọn phân thức.

* Lưu ý: Để rút gọn phân thức, ta thường thực hiện như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.