Hằng đẳng thức đáng nhớ: Hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng, một hiệu? Toán 8 Chân trời tập 1 Bài 3 C1

Các Hằng đẳng thức đáng nhớ: Hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng, một hiệu như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Bình phương của một tổng, một hiệu

– Hai biểu thức (đại số) A và B có giá trị bằng nhau với bất kì giá trị nào của các biến thì ta nói hai biểu thức A và B bằng nhau hoặc đồng nhất với nhau.

Ta viết A = B, là một đồng nhất thức hoặc hằng đẳng thức.

– Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A + B)² = A² + 2AB + B² : Hằng đẳng thức bình phương của một tổng

(A – B)² = A² – 2AB + B² : Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu

* Ví dụ 1: Tính:

a) (2x + y)²;

b) (3x² – 2y)².

* Lời giải:

a) (2x + y)² = (2x)² + 2 . 2x . y + y² = 4x² + 4xy + y²;

b) (3x² – 2y)² = (3x²)² – 2 . 3x² . 2y + (2y)² = 9x⁴ – 12x²y + 4y².

* Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x² – 4xy + 4y²;

b) y² + y + 

* Lời giải:

a) x² – 4xy + 4y² = x² – 2 . x . 2y + (2y)² = (x – 2y)²

b) y² + y +  = y² + 2.y. +  = 

* Ví dụ 3: Tính nhanh:

a) 99²;

b) 101².

* Lời giải:

a) 99² = (100 – 1)²

= 100² – 2 . 100 . 1 + 1²

= 10 000 – 200 + 1

= 9801

b) 101² = (100 + 1)²

= 100² + 2 . 100 . 1 + 1²

= 10 000 + 200 + 1

= 10 201.

2. Hiệu của hai bình phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A² – B² = (A – B)(A + B) : Hằng đẳng thức Hiệu hai bình phương

* Ví dụ 1:Thực hiện các phép nhân:

a) (x + 3)(x – 3).

b) (2x + y)(2x – y).

c) (x² – 2y)(x² + 2y).

* Lời giải:

a) (x + 3)(x – 3) = x² – 3² = x² – 9.

b) (2x + y)(2x – y) = (2x)² – y² = 4x² – y².

c) (x² – 2y)(x² + 2y) = (x²)² – (2y)² = x⁴ – 4y².

* Ví dụ 2: Tính nhanh:

a) 38 . 42;

b) 80² – 20².

* Lời giải:

a) 38 . 42 = (40 – 2)(40 + 2) = 40² – 2² = 1 600 – 4 = 1 596

b) 80² – 20² = (80 + 20)(80 – 20) = 100 . 60 = 6 000

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ : Hằng đẳng thức lập phương của một tổng

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³ : Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

* Ví dụ 1: Tính

b) (x + 3y)³.

a) (x – 5)³.

* Lời giải:

a) (x – 5)³ = x³ – 3 . x² . 5 + 3 . x . 5² – 5³

= x³ – 15x² + 75x – 125.

b) (x + 3y)³ = x³ + 3 . x² . 3y + 3 . x . (3y)² + (3y)³

= x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³.

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²) : Hằng đẳng thức Tổng hai lập phương

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²) : Hằng đẳng thức Hiệu hai lập phương

* Ví dụ 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) x³ + 1;

b) y³ – 216.

* Lời giải:

a) x³ + 1 = x³ + 1³ = (x + 1)(x² – x . 1 + 1²)

= (x + 1)(x² – x + 1)

b) y³ – 216 = y³ – 6³ = (y – 6)(y² + y . 6 + 6²)

= (y – 6)(y² + 6y + 36).

* Ví dụ 2: Tính

a) (2x + 3)(4x² – 6x + 9);

b) (y – 5)(y² + 5y + 25).

* Lời giải:

a) (2x + 3)(4x² – 6x + 9)

= (2x + 3)[(2x)² – 2x . 3 + 3²]= (2x)³ + 3³ 

= 8x³ + 27

b) (y – 5)(y² + 5y + 25)

= (y – 5)(y² + 5 . y + 5²) = y³ – 5³

= y³ – 125