Hotline0936685849

Các dạng toán về Phương trình bậc nhất một ẩn và bài tập vận dụng - Toán lớp 8

10:24:50Cập nhật: 16/05/2026

Sau khi đã làm quen với các khái niệm về đơn thức và đa thức, phương trình bậc nhất một ẩn chính là nội dung trọng tâm tiếp theo các em sẽ được học trong chương trình Toán lớp 8. Đây là nền tảng cốt lõi giúp các em giải quyết rất nhiều bài toán đại số phức tạp ở các lớp biểu trên.

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ tóm tắt toàn bộ lý thuyết căn bản, phân loại các dạng toán thường gặp và cung cấp hệ thống bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao giúp các em tự tin chinh phục chuyên đề này.

I. Tóm Tắt Lý Thuyết Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng một tập hợp nghiệm. Khi xét hai phương trình tương đương, chúng ta cần lưu ý tập hợp số đang xét, vì có trường hợp hai phương trình tương đương trên tập hợp số này nhưng lại không tương đương trên tập hợp số khác.

2. Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:

ax + b = 0 \quad (a \neq 0)

Trong đó $a$ và $b$ là các số đã biết (hệ số), $x$ là ẩn số.

Phương pháp giải chung:

Để giải phương trình này, chúng ta áp dụng hai quy tắc biến đổi cơ bản:

Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu hạng tử đó (dấu cộng đổi thành dấu trừ, dấu trừ đổi thành dấu cộng).
Quy tắc nhân/chia với một số: Ta có thể nhân hoặc chia cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0 để được một phương trình mới.

Phương trình bậc nhất một ẩn dạng $ax + b = 0$ luôn có một nghiệm duy nhất:

x = -\frac{b}{a}

Tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{-\frac{b}{a}\right\}$ .

3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất

Là những phương trình chưa có dạng $ax + b = 0$ nhưng có thể dùng các phép biến đổi đại số như: nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế, thu gọn... để đưa về dạng bậc nhất một ẩn.

4. Phương trình tích

Phương trình tích là những phương trình sau khi phân tích và biến đổi có dạng:

A(x) \cdot B(x) = 0

Cách giải:

Trường hợp 1: $A(x) = 0$
Trường hợp 2: $B(x) = 0$

Tập nghiệm của phương trình tích là tập hợp tất cả các nghiệm của hai phương trình thành phần trên.

5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, các em cần thực hiện tuần tự theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (tìm các giá trị của biến để tất cả các mẫu thức khác 0).
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được sau khi khử mẫu.
Bước 4: Đối chiếu các giá trị tìm được với ĐKXĐ để chọn nghiệm thích hợp (ghi rõ thỏa mãn hoặc không thỏa mãn ĐKXĐ).
Bước 5: Kết luận tập nghiệm $S$ .

6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số đó (ví dụ: ẩn phải là số nguyên dương, số lớn hơn 0...).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập.
Bước 3: Trả lời: Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn ban đầu để loại nghiệm không thích hợp và kết luận bài toán.

Các công thức bổ trợ cần nhớ:

Ký hiệu số có hai chữ số: $\overline{ab} = 10a + b$ (Điều kiện: $1 \leq a \leq 9$ và $0 \leq b \leq 9$ ; $a, b \in \mathbb{N}$ ).
Ký hiệu số có ba chữ số: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ (Chỉ số điều kiện: $1 \leq a \leq 9$ ; $0 \leq b, c \leq 9$ ; $a, b, c \in \mathbb{N}$ ).
Công thức toán chuyển động đều: Quãng đường = Vận tốc $\times$ Thời gian ( $S = v \cdot t$ ).

II. Các Dạng Toán Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Dạng 1: Phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số hai vế nếu phương trình chứa hằng số ở mẫu số.
Thực hiện phép nhân đơn thức hoặc đa thức để phá ngoặc.
Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hằng số sang vế còn lại.
Thu gọn về dạng $ax + b = 0$ hoặc $ax = -b$ để tìm nghiệm.

Các trường hợp đặc biệt khi thu gọn về dạng $0x = c$ :

Nếu $0x = 0$ : Phương trình có vô số nghiệm, tập nghiệm $S = \mathbb{R}$ .
Nếu $0x = c$ với $c \neq 0$ : Phương trình vô nghiệm, tập nghiệm $S = \emptyset$ .

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $3x - 2 = 2x - 3$

b) $7 - 2x = 22 - 3x$

c) $x - 12 + 4x = 25 + 2x - 1$

d) $2(x + 3) = 2(x - 4) + 14$

e) $2x - 1 + 2(2 - x) = 1$

Lời giải chi tiết:

a) $3x - 2 = 2x - 3$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các hằng số sang vế phải:

$3x - 2x = -3 + 2$

$x = -1$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{-1\}$ .

b) $7 - 2x = 22 - 3x$

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các hằng số sang vế phải:

$-2x + 3x = 22 - 7$

$x = 15$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{15\}$ .

c) $x - 12 + 4x = 25 + 2x - 1$

Thu gọn vế trái và vế phải trước khi chuyển vế:

$5x - 12 = 24 + 2x$

Chuyển vế hạng tử:

$5x - 2x = 24 + 12$

$3x = 36$

$x = 12$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{12\}$ .

d) $2(x + 3) = 2(x - 4) + 14$

Thực hiện nhân phá ngoặc ở hai vế:

$2x + 6 = 2x - 8 + 14$

$2x + 6 = 2x + 6$

Chuyển vế các hạng tử:

$2x - 2x = 6 - 6$

$0x = 0$

Biểu thức này luôn đúng với mọi giá trị của $x$ .

Vậy phương trình có vô số nghiệm, tập nghiệm $S = \mathbb{R}$ .

e) $2x - 1 + 2(2 - x) = 1$

Thực hiện nhân phá ngoặc để thu gọn vế trái:

$2x - 1 + 4 - 2x = 1$

$3 = 1$

Biểu thức này vô lý và không phụ thuộc vào giá trị của $x$ . Ta có thể viết lại dưới dạng:

$2x - 2x = 1 + 1 - 4$

$0x = -2$

Vậy phương trình vô nghiệm, tập nghiệm $S = \emptyset$ .

Bài tập tự luyện 1: Giải các phương trình sau:

a) $11 + 8x - 3 = 5x - 3 + x$

b) $3 - 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y$

c) $x + 2x + 3x - 19 = 3x + 5$

d) $4 - 2x + 15 = 9x + 4 - 2x$

Bài tập tự luyện 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số $m$ :

2(mx + 5) + 5(x + m) = m \quad (*)

Hướng dẫn giải: Phương trình chứa tham số được đưa về dạng $ax = -b$ để tiến hành biện luận theo các trường hợp của hệ số $a$ :

Nếu $a \neq 0$ : Phương trình có một nghiệm duy nhất $x = -\frac{b}{a}$ .
Nếu $a = 0$ và $-b \neq 0$ : Phương trình vô nghiệm.
Nếu $a = 0$ và $-b = 0$ : Phương trình có vô số nghiệm.

Khai triển phương trình $(*)$ :

$2mx + 10 + 5x + 5m = m$

$2mx + 5x = m - 5m - 10$

$(2m + 5)x = -4m - 10$

$(2m + 5)x = -2(2m + 5)$

Biện luận các trường hợp:

Nếu $2m + 5 \neq 0$ , tương đương $m \neq -\frac{5}{2}$ : Phương trình có nghiệm duy nhất:
$x = -2$
Nếu $2m + 5 = 0$ , tương đương $m = -\frac{5}{2}$ : Phương trình trở thành:
$0x = 0$
Biểu thức này luôn đúng, do đó phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận:

Với $m \neq -\frac{5}{2}$ , phương trình có tập nghiệm $S = \{-2\}$ .
Với $m = -\frac{5}{2}$ , phương trình có tập nghiệm $S = \mathbb{R}$ .

Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng phương trình tích

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi đại số để đưa phương trình về dạng tổng quát: $A(x) \cdot B(x) = 0$ .
Phương trình tích xảy ra khi và chỉ khi $A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$ .
Tiến hành giải hai phương trình độc lập này rồi tập hợp tất cả các nghiệm tìm được.

Ví dụ: Giải các phương trình tích sau:

a) $(3x - 2)(4x + 5) = 0$

Phương trình dẫn đến hai trường hợp:

Trường hợp 1:
$3x - 2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Trường hợp 2:
$4x + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\frac{2}{3}; -\frac{5}{4}\right\}$ .

b) $2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$

Nhóm nhân tử chung $(x - 3)$ ta được:

$(x - 3)(2x + 5) = 0$

Phương trình dẫn đến hai trường hợp giải riêng biệt:

Trường hợp 1:
$x - 3 = 0$
$x = 3$
Trường hợp 2:
$2x + 5 = 0$
$2x = -5$
$x = -\frac{5}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{3; -\frac{5}{2}\right\}$ .

Bài tập tự luyện Dạng 2:

Giải các phương trình sau:

a) $(3x - 2)(4x + 5) = 0$
b) $(2x + 7)(x - 5)(5x + 1) = 0$
c) $(4x - 10)(24 + 5x) = 0$
d) $(5x + 2)(x - 7) = 0$
e) $(4x + 2)(x^2 + 1) = 0$
f) $(x^2 + 1)(x^2 - 4x + 4) = 0$
g) $(x - 1)(2x + 7)(x^2 + 2) = 0$
h) $(3x + 2)(x^2 - 1) = (9x^2 - 4)(x + 1)$

Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức là phương trình có dạng tổng quát:

\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}

(Trong đó $A(x), B(x), C(x), D(x)$ là các đa thức chứa biến $x$ )

Các bước giải cụ thể bao gồm:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (cho các mẫu thức khác $0$ ).
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được sau khi khử mẫu.
Bước 4 (Kết luận): Đối chiếu các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3 với ĐKXĐ. Giá trị nào thỏa mãn thì chính là nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa:

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x+3}{x} = \frac{3x+3}{5x-1} \quad (*)$
b) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = 3x \left( 1 - \frac{x-1}{x+1} \right) \quad ()$

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{x+3}{x} = \frac{3x+3}{5x-1}$

Điều kiện xác định (ĐKXĐ): $x \neq 0$ và $5x - 1 \neq 0$ hay $x \neq 0$ và $x \neq \frac{1}{5}$ .

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình $(*)$ :

\frac{(x+3)(5x-1)}{x(5x-1)} = \frac{x(3x+3)}{x(5x-1)}

Khử mẫu thức, ta được:

$(5x - 1)(x + 3) = x(3x + 3)$

$5x^2 + 15x - x - 3 = 3x^2 + 3x$

$5x^2 + 14x - 3 = 3x^2 + 3x$

$5x^2 - 3x^2 + 14x - 3x = 3$

$2x^2 + 11x - 3 = 0$

(Sử dụng phương pháp tách hạng tử hoặc phân tích thành nhân tử để tìm nghiệm) Ta tính được giá trị nghiệm thỏa mãn là $x = \frac{3}{11}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{\frac{3}{11}\right\}$ .

b) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = 3x \left( 1 - \frac{x-1}{x+1} \right)$

Điều kiện xác định (ĐKXĐ): $x - 1 \neq 0$ và $x + 1 \neq 0$ hay $x \neq 1$ và $x \neq -1$ .

Thu gọn vế phải của phương trình $()$ :

\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = 3x \left( \frac{x+1 - (x-1)}{x+1} \right)

\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{6x}{x+1}

Quy đồng mẫu số hai vế với mẫu chung là $(x-1)(x+1)$ rồi khử mẫu, ta được:

$(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 6x(x - 1)$

$x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 6x^2 - 6x$

$4x = 6x^2 - 6x$

$6x^2 - 10x = 0$

$2x(3x - 5) = 0$

Phương trình dẫn đến hai trường hợp giải:

Trường hợp 1: $2x = 0$ hay $x = 0$ (Thỏa mãn ĐKXĐ).
Trường hợp 2: $3x - 5 = 0$ hay $x = \frac{5}{3}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{0; \frac{5}{3}\right\}$ .

Bài tập tự luyện Dạng 3:

Bài tập 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:

a) $\frac{6x-1}{3x+2} = \frac{2x+5}{x-3}$
b) $\frac{y+5}{y-1} - \frac{y+1}{y-3} = \frac{-8}{(y-1)(y-3)}$

Bài tập 2: Cho phương trình chứa ẩn $x$ : $\frac{x+a}{a-x} - \frac{x-a}{a+x} = \frac{a(3a+1)}{a^{2}-x^{2}}$

a) Giải phương trình với $a = -3$ .
b) Giải phương trình với $a = 1$ .
c) Giải phương trình với $a = 0$ .

Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Phương pháp giải chung:

Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập.
Bước 3: Trả lời
- Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi đưa ra kết luận cuối cùng.

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng toán so sánh

Đầu bài thường xuất hiện các từ khóa liên quan đến phép toán:

Nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn...: Biểu thị phép toán cộng.
Ít hơn, bớt, rẻhơn, nhanh hơn...: Biểu thị phép toán trừ.
Gấp nhiều lần: Biểu thị phép toán nhân.
Kém nhiều lần: Biểu thị phép toán chia.

Ví dụ minh họa: Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng 13.

Lời giải:

Gọi số nguyên nhỏ là $x$ .

Vì là hai số nguyên liên tiếp nên số nguyên lớn là $x + 1$ .

Theo đề bài, ta có phương trình:

$2x + 3(x + 1) = 13$

$2x + 3x + 3 = 13$

$5x = 10$

$x = 2$

Số nguyên nhỏ tìm được là 2, suy ra số nguyên lớn liên tiếp là: $2 + 1 = 3$ .

Kết luận: Vậy hai số nguyên liên tiếp cần tìm là 2 và 3.

Bài tập luyện tập:

Bài 1: Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu. (Đáp số: 8; 12; 5; 20)
Bài 2: Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đó. (Đáp số: 24; 8)
Bài 3: Trước đây 5 năm, tuổi Trang bằng nửa tuổi của Trang sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Trang hiện nay. (Đáp số: 14 tuổi)
Bài 4: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi? (Đáp số: 13 tuổi)

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng tìm số gồm 2, 3 chữ số

Số có hai chữ số ký hiệu là $\overline{ab} = 10a + b$ (Điều kiện: $1 \leq a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ và $a, b \in \mathbb{N}$ ).
Số có ba chữ số ký hiệu là $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ (Điều kiện: $1 \leq a \leq 9$ ; $0 \leq b, c \leq 9$ và $a, b, c \in \mathbb{N}$ ).

Ví dụ 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và số lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Gọi số bé là $x$ , số lớn sẽ là $x + 12$ .

Thương khi chia số bé cho 7 là: $\frac{x}{7}$

Thương khi chia số lớn cho 5 là: $\frac{x+12}{5}$

Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:

\frac{x+12}{5} - \frac{x}{7} = 4

Quy đồng và giải phương trình, ta tìm được:

$x = 28$

Số bé là 28, suy ra số lớn là: $28 + 12 = 40$ .

Vậy hai số cần tìm là 28 và 40.

Ví dụ 2: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị thì ta được phân số mới bằng $\frac{1}{2}$ . Tìm phân số đã cho.

Lời giải:

Gọi tử số của phân số ban đầu là $x$ ( $x \neq 0$ ). Mẫu số của phân số đó sẽ là $x + 3$ .

Khi tăng tử số thêm 2 đơn vị, tử số mới là: $x + 2$

Khi tăng mẫu số thêm 2 đơn vị, mẫu số mới là: $x + 3 + 2 = x + 5$

Theo đề bài, ta có phương trình:

\frac{x+2}{x+5} = \frac{1}{2} \quad (\text{ĐKXĐ: } x \neq -5)

$2(x + 2) = x + 5$

$2x + 4 = x + 5$

$x = 1$ (Thỏa mãn điều kiện).

Tử số là 1, mẫu số là: $1 + 3 = 4$ .

Vậy phân số ban đầu đã cho là $\frac{1}{4}$ .

3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng toán làm chung - làm riêng

Khi khối lượng công việc không đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc (biểu thị bằng số $1$ ).
Công thức năng suất: $A = n \cdot t$ (Khối lượng công việc = Năng suất $\times$ Thời gian).
Tổng năng suất riêng của từng đối tượng bằng năng suất chung khi cùng làm.

Ví dụ 1: Hai đội công nhân làm chung 6 ngày thì xong một công việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải: Một ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{6}$ công việc. Ta có bảng phân tích sau:

Đối tượng	Số ngày làm riêng xong công việc	Công việc làm trong 1 ngày
Đội 1	$x$ (Điều kiện: $x > 5$ )	$\frac{1}{x}$
Đội 2	$x - 5$	$\frac{1}{x-5}$

Phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng:

\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}

Ví dụ 2: Một xí nghiệp hợp đồng dệt một số tấm len trong 20 ngày. Do năng suất làm việc vượt dự tính là $20\%$ nên không những xí nghiệp hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 24 tấm len. Hỏi theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt bao nhiêu tấm len?

Hướng dẫn giải: Ta có bảng phân tích số liệu:

Kế hoạch	Tổng sản phẩm	Năng suất mỗi ngày
Theo kế hoạch	$x$ (Điều kiện: $x > 0$ )	$\frac{x}{20}$
Thực tế	$x + 24$	$\frac{x+24}{18}$

Phương trình thu được dựa trên mức tăng năng suất $20\%$ :

\frac{x}{20} + \frac{x}{20} \cdot \frac{20}{100} = \frac{x+24}{18}

\frac{x}{20} + \frac{x}{20} \cdot \frac{20}{100} = \frac{x+24}{18}

Hy vọng bài viết tổng hợp các dạng toán về phương trình bậc nhất một ẩn và bài tập vận dụng lớp 8 trên đây của Hay Học Hỏi sẽ là cẩm nang hữu ích, đồng hành cùng các em học sinh trên con đường chinh phục môn Toán. Nếu có bất kỳ bài toán nào cần hỗ trợ hoặc góp ý, các em hãy để lại bình luận phía dưới bài viết nhé. Chúc các em luôn học tốt!

» Xem thêm:

Bài tập phương trình đưa về dạng PT bậc nhất ax+b=0

Bài tập giải phương trình chứa ẩn ở mẫu (chi tiết, dễ hiểu)