Cách chia đa thức cho đơn thức, Phát biểu quy tắc, Ví dụ và Bài tập chia đa thức cho đơn thức - Toán lớp 8

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết căn bản, phát biểu quy tắc tổng quát một cách trực quan, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp các em học sinh ôn tập hiệu quả.

I. Lý Thuyết Về Phép Chia Đa Thức Cho Đơn Thức

Với $A$ là một đa thức và $B$ là một đơn thức (điều kiện đơn thức $B \neq 0$). Ta nói đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ nếu tìm được một biểu thức $Q$ (biểu thức $Q$ có thể là một đa thức hoặc một đơn thức) sao cho hệ thức sau luôn đúng:

Trong phép toán này:

• $A$ được gọi là đa thức bị chia.

• $B$ được gọi là đơn thức chia.

• $Q$ được gọi là thương của phép chia.

Ký hiệu phép tính thương: $Q = A : B$ hoặc $Q = \frac{A}{B}$

II. Phát Biểu Quy Tắc Chia Đa Thức Cho Đơn Thức

Muốn chia một đa thức $A$ cho một đơn thức $B$ (trong trường hợp tất cả các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Chia lần lượt từng hạng tử của đa thức $A$ cho đơn thức $B$.

• Bước 2: Cộng tất cả các kết quả thương vừa tìm được lại với nhau để tạo thành đa thức thương cuối cùng.

Lưu ý khi làm toán: Trong một số trường hợp đặc biệt, nếu đa thức bị chia $A$ có thể dễ dàng phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, các em nên ưu tiên phân tích thành tích trước rồi tiến hành triệt tiêu rút gọn cho đơn thức chia $B$. Cách này sẽ giúp quá trình tính toán nhanh và hạn chế sai sót về dấu.

III. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Để đảm bảo nội dung hiển thị mượt mà trên cả máy tính lẫn điện thoại di động mà không gây ra lỗi tràn khung hình, phần lời giải dưới đây đã được tối ưu trình bày nối tiếp nhau theo cột dọc rõ ràng.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính chia đa thức cho đơn thức sau:

Lời giải:

Áp dụng quy tắc lấy từng số hạng của đa thức chia cho đơn thức:

$= (12x^4y^3 : 2xy) + (8x^3y^2 : 2xy) - (4xy^2 : 2xy)$

Thực hiện chia hệ số và trừ số mũ của từng biến tương ứng:

$= 6x^{4-1}y^{3-1} + 4x^{3-1}y^{2-1} - 2x^{1-1}y^{2-1}$

$= 6x^3y^2 + 4x^2y - 2y$

Vậy đa thức thương tìm được là: $6x^3y^2 + 4x^2y - 2y$.

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính chia đa thức sau bằng cách phá dấu ngoặc:

Lời giải:

Áp dụng quy tắc chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức:

$= (-2x^5 : 2x^2) + (6x^2 : 2x^2) - (4x^3 : 2x^2)$

Thực hiện rút gọn lũy thừa:

$= -x^{5-2} + 3x^{2-2} - 2x^{3-2}$

$= -x^3 + 3 \cdot 1 - 2x^1$

$= -x^3 - 2x + 3$

Vậy đa thức thương tìm được là: $-x^3 - 2x + 3$.

IV. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức sau đây:

Lời giải:

Chia từng số hạng của đa thức cho đơn thức chia hệ số âm:

$= [3a^2x^4 : (-4ax^2)] + [8ax^3 : (-4ax^2)] - [4ax^2 : (-4ax^2)]$

$= -\frac{3}{4}a^{2-1}x^{4-2} - 2a^{1-1}x^{3-2} + 1a^{1-1}x^{2-2}$

$= -\frac{3}{4}ax^2 - 2x + 1$

Vậy kết quả phép chia là: $-\frac{3}{4}ax^2 - 2x + 1$.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính chia, phá dấu ngoặc rồi thu gọn biểu thức:

Lời giải:

Thực hiện nhân phân phối hằng số vào đa thức trước khi chia:

$= x - 4 + (9x^2 - 3x) : (-3x) - 2x - 1$

Tiến hành phép tính chia đa thức cho đơn thức đối với cụm ở giữa:

$= x - 4 + [9x^2 : (-3x)] - [3x : (-3x)] - 2x - 1$

$= x - 4 - 3x + 1 - 2x - 1$

Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau để rút gọn biểu thức:

$= (x - 3x - 2x) + (-4 + 1 - 1)$

$= -4x - 4$

Vậy biểu thức sau khi thu gọn cuối cùng bằng: $-4x - 4$.

Bài tập 3: Tìm số tự nhiên $m$ để đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$, biết:

Lời giải:

Để đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ thì tất cả các hạng tử của đa thức $A$ đều phải chia hết cho đơn thức $B$. Điều này đồng nghĩa với việc số mũ của từng biến trong đơn thức $B$ không được lớn hơn số mũ tương ứng của biến đó trong mỗi số hạng của đa thức $A$.

Xét điều kiện đối với số mũ của biến $x$:

$m - 1 \geq 2$ hay $m \geq 3$

$3 \geq 2$ (điều kiện này luôn luôn đúng)

Xét điều kiện đối với số mũ của biến $y$:

$5 \geq m$ hay $m \leq 5$

$4 \geq m$ hay $m \leq 4$

Kết hợp tất cả các khoảng điều kiện của biến số trên, ta được:

$3 \leq m \leq 4$

Vì bài toán yêu cầu $m$ phải là một số tự nhiên, do đó các giá trị thỏa mãn là:

$m = 3$ hoặc $m = 4$

Tập hợp giá trị cần tìm là: $m \in \{3; 4\}$.

Bài tập 4: Tìm đa thức $A$ chưa biết, biết rằng hằng đẳng thức tích sau thỏa mãn:

Lời giải:

Để tìm đa thức thương $A$, ta thực hiện chuyển vế biến phép nhân thành phép chia đa thức cho đơn thức:

$A = (24x^9 - 32x^8 + 12x^5) : 4x^4$

Áp dụng quy tắc chia lần lượt từng hạng tử của đa thức cho đơn thức:

$A = (24x^9 : 4x^4) - (32x^8 : 4x^4) + (12x^5 : 4x^4)$

$A = 6x^{9-4} - 8x^{8-4} + 3x^{5-4}$

$A = 6x^5 - 8x^4 + 3x$

Vậy đa thức $A$ cần tìm là: $A = 6x^5 - 8x^4 + 3x$.