Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp - Toán lớp 8

Trong bài viết này chúng ta cùng vận dụng cách phối hợp các phương pháp trên (đặt nhân tử chung, nhóm nhiều hạng tử và dùng hằng đẳng thức) để phân tích đa thức thành nhân tử.

• Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp ta cần lưu ý:

- Đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng để giải quyết yêu cầu bài toán.

- Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích để đi đến kết quả cuối cùng.

• Bài tập vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Bài 51 trang 24 SGK Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ – 2x² + x.

b) 2x² + 4x + 2 – 2y²

c) 2xy – x² – y² + 16

* Lời giải:

a) x³ – 2x² + x

 = x.x² – x.2x + x

(Xuất hiện nhân tử chung là x)

 = x(x² – 2x + 1)

(Xuất hiện hằng đẳng thức dạng (A-B)² = A² - 2AB + B² tương tứng trong bài A là x B là 1)

 = x(x – 1)²

b) 2x² + 4x + 2 – 2y² (có nhân tử chung là 2)

 = 2.(x² + 2x + 1 – y²)

 (Xuất hiện HĐT dạng (A+B)² = A² + 2AB + B tương ứng trong bài A là x B là 1).

= 2[(x² + 2x + 1) – y²]

= 2[(x + 1)² – y²]

 (Xuất hiện hằng đẳng thức dạng A² - B² = (A - B)(A + B) tương ứng trong bài A là (x+1) và B là y)

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x² – y² + 16

(ta thấy có 2xy ; x² ; y², ta liên tưởng đến HĐT (A+B)² hoặc (A-B)²)

 = 16 – (x² – 2xy + y²)

(xuất hiện HĐT dạng (A-B)² = A² - 2AB + B² tương ứng trong bài A là x và B là y)

= 4² – (x – y)²

(xuất hiện hằng đẳng thức dạng A² - B² = (A-B)(A+B) tương ứng trong bài A là 4 và B là (x-y)²)

= [4 – (x – y)][4 + (x - y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

* Bài 52 trang 24 SGK Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

* Lời giải:

- Ta có: (5n + 2)² – 4

 = (5n + 2)² – 2²

 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

 = 5n(5n + 4)

 Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)² – 4 luôn chia hết cho 5 với mọi n ∈ Ζ

* Nhận xét: Bài toán trên thực chất là chúng ta vận dụng hằng đẳng thức phân tích thành nhân tử rồi mới vận dụng tính chất chia hết để được kết quả theo yêu cầu.

* Bài 53 trang 24 SGK Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2

b) x² + x – 6

c) x² + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x² – 3x + 2 = x² – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x² – 3x + 2 = x² – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

* Lời giải:

• Cách 1: Tách một hạng tử thành tổng hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

- Ta có: x² – 3x + 2

(Tách –3x = – x – 2x)

 = x² – x – 2x + 2 

 = (x² – x) – (2x – 2)

 = x(x – 1) – 2(x – 1)

(Có x – 1 là nhân tử chung)

 = (x – 1)(x – 2)

 Hoặc: x² – 3x + 2

 = x² – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)

 = x² – 4 – 3x + 6

 = (x² – 2²) – 3(x – 2)

 = (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

 = (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x² + x – 6

= x² + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)

= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)

= (x + 3)(x – 2)

c) x² + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)

= (x + 2)(x + 3)

• Cách 2: Đưa về các HĐT dạng (A+B)² hoặc (A-B)²

(ta viết 3x = 2.x.(3/2) và thêm bớt (3/2)² để xuất hiện HĐT dạng (A-B)² = A² - 2AB + B² tương ứng A là x và B là 3/2 )

(xuất hiện HĐT dạng A² - B² = (A-B)(A+B) tương ứng với A là x-3/2 và B là 1/2)

(ta viết x = 2.x.(1/2) và thêm bớt (1/2)² để xuất hiện HĐT dạng (A+B)² = A² + 2AB + B² tương ứng A là x và B là 1/2)

(xuất hiện HĐT dạng A² - B² = (A-B)(A+B) tương ứng với A là x+3/2 và B là 5/2)

(ta viết 5x = 2.x.(5/2) và thêm bớt (5/2)² để xuất hiện HĐT dạng (A+B)² = A² + 2AB + B² tương ứng A là x và B là 5/2)

(xuất hiện HĐT dạng A² - B² = (A-B)(A+B) tương ứng với A là x+5/2 và B là 1/2)