Cách giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích và bài tập - Toán 8 chuyên đề

Vậy phương pháp giải phương trình tích như thế nào? Cách biến đổi các phương trình phức tạp về dạng phương trình tích ra sao? Hãy cùng Hay Học Hỏi tìm hiểu chi tiết lý thuyết và các bài tập vận dụng qua bài viết dưới đây nhé!

I. Phương Pháp Giải Phương Trình Đưa Được Về Dạng Phương Trình Tích

Một phương trình tích là phương trình có dạng tổng quát:

Để giải phương trình này hoặc các phương trình có thể đưa về dạng tích, các em thực hiện theo quy trình gồm 2 bước cơ bản dưới đây:

• Bước 1: Áp dụng công thức biến đổi phương trình tích:

  $$A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0 \text{ hoặc } B(x) = 0$$

• Bước 2: Giải từng phương trình bậc nhất một ẩn riêng biệt gồm $A(x) = 0$ và $B(x) = 0$. Sau đó, lấy tất cả các nghiệm tìm được để kết luận tập nghiệm $S$ của phương trình ban đầu.

Mẹo nhỏ khi biến đổi: Đối với các phương trình chưa có dạng tích sẵn, các em cần chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái để vế phải bằng $0$. Sau đó, sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử) để đưa vế trái về dạng tích.

II. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Giải các phương trình tích sau đây:

a) $(3x - 2)(4x + 5) = 0$

b) $2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$

Lời giải:

a) $(3x - 2)(4x + 5) = 0$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{\frac{2}{3}; -\frac{5}{4}\right\}$

b) $2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$

Nhận thấy có nhân tử chung là $(x - 3)$, ta đặt ra ngoài để đưa về dạng tích:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{3; -\frac{5}{2}\right\}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích: $3x(x - 2) = x^2 - 4$

Lời giải: Ta thực hiện chuyển vế và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích:

Đặt nhân tử chung $(x - 2)$ ra ngoài, ta được:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \{1; 2\}$

III. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng

Dưới đây là các dạng bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao. Các em hãy tự làm và đối chiếu với phần gợi ý đáp số ở dưới để tự đánh giá năng lực của mình nhé.

Bài tập 1: Giải các phương trình tích cơ bản sau:

a) $(3x - 2)(4x + 5) = 0$

b) $(2x + 7)(x - 5)(5x + 1) = 0$

c) $(4x - 10)(24 + 5x) = 0$

d) $(5x + 2)(x - 7) = 0$

Gợi ý đáp số Bài 1: > * a) $S = \left\{\frac{2}{3}; -\frac{5}{4}\right\}$

• b) $S = \left\{-\frac{7}{2}; 5; -\frac{1}{5}\right\}$

• c) $S = \left\{\frac{5}{2}; -\frac{24}{5}\right\}$

• d) $S = \left\{-\frac{2}{5}; 7\right\}$

Bài tập 2: Giải các phương trình chứa đa thức bậc hai:

a) $(4x + 2)(x^2 + 1) = 0$

b) $(x^2 + 1)(x^2 - 4x + 4) = 0$

c) $(x - 1)(2x + 7)(x^2 + 2) = 0$

d) $(3x + 2)(x^2 - 1) = (9x^2 - 4)(x + 1)$

Gợi ý phương pháp và đáp số Bài 2: > * a) Vì $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$, nên phương trình chỉ tương đương với $4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$. Tập nghiệm $S = \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

• b) Nhận thấy $x^2 + 1 > 0$ và $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Phương trình tương đương $(x - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. Tập nghiệm $S = \{2\}$.

• c) Vì $x^2 + 2 > 0$ với mọi $x$, phương trình tương đương $x - 1 = 0$ hoặc $2x + 7 = 0$. Tập nghiệm $S = \left\{1; -\frac{7}{2}\right\}$.

• d) Biến đổi hằng đẳng thức ở hai vế để xuất hiện nhân tử chung là $(3x + 2)(x + 1)$. Phương trình thu gọn cuối cùng thu được là $(3x + 2)(x + 1)(-2x + 1) = 0$. Tập nghiệm $S = \left\{-\frac{2}{3}; -1; \frac{1}{2}\right\}$.

Bài tập 3: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử đưa về phương trình tích:

a) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

b) $x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Gợi ý phương pháp và đáp số Bài 3: > * a) Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối: $x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$. Tập nghiệm $S = \{-3; -2; 2\}$.

• b) Nhóm hạng tử tương tự bài a: $x^2(x - 4) - (x - 4) = 0 \Leftrightarrow (x - 4)(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 4)(x - 1)(x + 1) = 0$. Tập nghiệm $S = \{4; 1; -1\}$.