Phương pháp đặt nhân tử chung và Bài tập vận dụng (dễ hiểu nhất) Toán 8

Bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hiểu rõ bản chất của phương pháp đặt nhân tử chung, lý giải vì sao chúng ta cần phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao có lời giải chi tiết.

I. Lý Thuyết Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Cách Đặt Nhân Tử Chung

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đã cho ban đầu thành một tích của những đa thức khác.

2. Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử

Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là công cụ bổ trợ đắc lực giúp các em học sinh giải quyết nhanh gọn các dạng toán sau:

• Rút gọn biểu thức đại số phức tạp hoặc các phân thức đại số.

• Tính nhanh, tính hợp lý giá trị của một biểu thức số học.

• Giải các phương trình bậc cao bằng cách đưa về dạng phương trình tích.

3. Phương pháp đặt nhân tử chung

Để thực hiện phương pháp này, chúng ta tìm cách biến đổi, tách hoặc ghép các hạng tử sao cho tất cả các số hạng của đa thức đều xuất hiện một thừa số chung. Sau đó, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc.

Các số hạng còn lại bên trong dấu ngoặc sẽ có được bằng cách lấy từng số hạng của đa thức ban đầu chia cho nhân tử chung vừa đặt ra ngoài.

Lưu ý quan trọng: Nhiều khi các hạng tử chưa lộ ngay nhân tử chung. Để làm xuất hiện nhân tử chung, các em cần linh hoạt đổi dấu các hạng tử bằng cách vận dụng tính chất đổi dấu:

$$A = -(-A)$$

II. Bài Tập Vận Dụng Phương Pháp Đặt Nhân Tử Chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $3x - 6y$

b) $\frac{2}{5}x^2 + 5x^3 + x^2y$

c) $14x^2y - 21xy^2 + 28x^2y^2$

d) $\frac{2}{5}x(y-1) - \frac{2}{5}y(y-1)$

e) $10x(x-y) - 8y(y-x)$

Lời giải chi tiết:

a) $3x - 6y$

Tách các hạng tử để xuất hiện thừa số chung là $3$:

$3 \cdot x - 3 \cdot 2y$

Đặt nhân tử chung ra ngoài:

$= 3(x - 2y)$

b) $\frac{2}{5}x^2 + 5x^3 + x^2y$

Tách các hạng tử để xuất hiện thừa số chung là $x^2$:

$\frac{2}{5}x^2 + 5x \cdot x^2 + x^2 \cdot y$

Đặt nhân tử chung ra ngoài:

$= x^2\left(\frac{2}{5} + 5x + y\right)$

c) $14x^2y - 21xy^2 + 28x^2y^2$

Phân tích phần hệ số và phần biến để tìm nhân tử chung lớn nhất là $7xy$:

$7xy \cdot 2x - 7xy \cdot 3y + 7xy \cdot 4xy$

Đặt nhân tử chung ra ngoài:

$= 7xy(2x - 3y + 4xy)$

d) $\frac{2}{5}x(y-1) - \frac{2}{5}y(y-1)$

Nhận thấy các cụm hạng tử đã có sẵn nhân tử chung là $\frac{2}{5}(y-1)$, ta tiến hành nhóm:

$= \frac{2}{5}(y-1)(x - y)$

e) $10x(x - y) - 8y(y - x)$

Áp dụng quy tắc đổi dấu hạng tử vế sau: $y - x = -(x - y)$, phương trình trở thành:

$10x(x - y) - 8y[-(x - y)]$

$10x(x - y) + 8y(x - y)$

Tiếp tục phân tích phần hệ số tự do $10$ và $8$ để xuất hiện nhân tử chung lớn nhất là $2(x - y)$:

$2(x - y) \cdot 5x + 2(x - y) \cdot 4y$

$= 2(x - y)(5x + 4y)$

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức bằng cách tính hợp lý

a) Tính giá trị biểu thức $A = 15 \cdot 91,5 + 150 \cdot 0,85$

b) Tính giá trị biểu thức $B = x(x - 1) - y(1 - x)$ tại $x = 2001$ and $y = 1999$.

Lời giải chi tiết:

a) $A = 15 \cdot 91,5 + 150 \cdot 0,85$

Tách hệ số $150 = 15 \cdot 10$ để tạo nhân tử chung $15$:

$A = 15 \cdot 91,5 + 15 \cdot 10 \cdot 0,85$

$A = 15 \cdot 91,5 + 15 \cdot 8,5$

$A = 15 \cdot (91,5 + 8,5)$

$A = 15 \cdot 100$

$A = 1500$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ bằng $1500$.

b) $B = x(x - 1) - y(1 - x)$

Áp dụng quy tắc đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung $(x - 1)$:

$B = x(x - 1) - y[-(x - 1)]$

$B = x(x - 1) + y(x - 1)$

$B = (x - 1)(x + y)$

Thay giá trị $x = 2001$ và $y = 1999$ vào biểu thức đã thu gọn:

$B = (2001 - 1)(2001 + 1999)$

$B = 2000 \cdot 4000$

$B = 8000000$

Vậy tại $x = 2001$ và $y = 1999$ thì giá trị biểu thức $B$ bằng $8000000$.

Bài 3: Tìm $x$, biết:

a) $5x(x - 2000) - x + 2000 = 0$

b) $x^3 - 13x = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $5x(x - 2000) - x + 2000 = 0$

Nhóm hai hạng tử cuối và đặt dấu trừ ra trước để xuất hiện nhân tử chung:

$5x(x - 2000) - (x - 2000) = 0$

$(x - 2000)(5x - 1) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 2000 = 0$

$x = 2000$

Trường hợp 2:

$5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $x = 2000$ và $x = \frac{1}{5}$.

b) $x^3 - 13x = 0$

Đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài để đưa về dạng phương trình tích:

$x \cdot x^2 - x \cdot 13 = 0$

$x(x^2 - 13) = 0$

Trường hợp 1:

$x = 0$

Trường hợp 2:

$x^2 - 13 = 0$

$x^2 = 13$

$x = \sqrt{13}$ hoặc $x = -\sqrt{13}$

Vậy có ba giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $x = 0$, $x = \sqrt{13}$ và $x = -\sqrt{13}$.

Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức $55^{n + 1} - 55^n$ luôn chia hết cho 54 (với $n$ là số tự nhiên)

Lời giải chi tiết:

Biến đổi biểu thức bằng phương pháp tách hạng tử lũy thừa để đặt nhân tử chung:

$55^{n + 1} - 55^n = 55^n \cdot 55 - 55^n \cdot 1$

$= 55^n(55 - 1)$

$= 55^n \cdot 54$

Vì số số hạng $54$ hiển nhiên chia hết cho $54$, nên tích của số thực $55^n \cdot 54$ sẽ luôn luôn chia hết cho $54$ với mọi số tự nhiên $n$.

Đa thức đã cho được chứng minh hoàn toàn.