Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng - Toán lớp 8

Để giúp các em làm chủ dạng toán này, bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ tổng hợp toàn bộ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử từ cơ bản đến nâng cao, đi kèm ví dụ minh họa và hệ thống bài tập tự luyện phong phú.

I. Các Phương Pháp Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Cốt Lõi

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

• Phương pháp giải: * Tìm nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức xuất hiện ở tất cả các hạng tử.

  • Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

  • Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, các nhân tử còn lại kèm theo dấu của chúng được đặt gọn vào bên trong dấu ngoặc.

• Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  • a) $15x^3 - 5x^2 + 10x$

    $= 5x \cdot 3x^2 + 5x \cdot (-x) + 5x \cdot 2$

    $= 5x(3x^2 - x + 2)$

  • b) $28x^2y^2 - 21xy^2 + 14x^2y$

    $= 7xy \cdot 4xy + 7xy \cdot (-3y) + 7xy \cdot 2x$

    $= 7xy(4xy - 3y + 2x)$

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

• Phương pháp giải: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng cấu trúc quen thuộc của các hằng đẳng thức đáng nhớ, từ đó viết đa thức dưới dạng tích hoặc lũy thừa.

• 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cần thuộc lòng:

  • $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

  • $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

  • $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$

  • $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

  • $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

  • $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

  • $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

  • mở rộng: $(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC$

• Các tính chất biến đổi dấu cần chú ý:

  • $a + b = -(-a - b)$

  • $(a + b)^2 = (-a - b)^2$

  • $(a - b)^2 = (b - a)^2$

  • $(a + b)^3 = -(-a - b)^3$

  • $(a - b)^3 = -(-a + b)^3$

• Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  • a) $9x^2 - 4$

    $= (3x)^2 - 2^2$

    $= (3x - 2)(3x + 2)$

  • b) $8 - 27x^3y^6$

    $= 2^3 - (3xy^2)^3$

    $= (2 - 3xy^2)(4 + 6xy^2 + 9x^2y^4)$

  • c) $25x^4 - 10x^2y + y^2$

    $= (5x^2)^2 - 2 \cdot 5x^2 \cdot y + y^2$

    $= (5x^2 - y)^2$

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

• Phương pháp giải: * Kết hợp các hạng tử một cách thích hợp để chia đa thức thành từng nhóm nhỏ.

  • Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức cho từng nhóm để làm xuất hiện nhân tử chung mới của toàn bộ đa thức.

• Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  • a) $2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$

    $= (2x^3 + 2x) - (3x^2 + 3)$

    $= 2x(x^2 + 1) - 3(x^2 + 1)$

    $= (x^2 + 1)(2x - 3)$

  • b) $x^2 - 2xy + y^2 - 16$

    $= (x^2 - 2xy + y^2) - 16$

    $= (x - y)^2 - 4^2$

    $= (x - y - 4)(x - y + 4)$

4. Phương pháp tách hoặc thêm bớt hạng tử

• Phương pháp giải: Đối với những đa thức không thể áp dụng ngay các phương pháp trên, ta cần chủ động tách một hạng tử thành tổ hợp các hạng tử khác, hoặc thêm bớt cùng một hạng tử một cách linh hoạt để tạo ra cấu trúc hằng đẳng thức hoặc nhóm hạng tử chung.

• Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  • a) $x^4 + 4$

    $= x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

    $= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

    $= (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

  • b) $x^4 + 1$

    $= x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2$

    $= (x^2 + 1)^2 - (x\sqrt{2})^2$

    $= (x^2 - x\sqrt{2} + 1)(x^2 + x\sqrt{2} + 1)$

  • c) $3x^2 + 8x + 4$

    Cách 1 (Tách hạng tử): $= 3x^2 + 6x + 2x + 4$

    $= 3x(x + 2) + 2(x + 2)$

    $= (x + 2)(3x + 2)$

    Cách 2 (Thêm bớt tạo hằng đẳng thức): $= 4x^2 + 8x + 4 - x^2$

    $= (2x + 2)^2 - x^2$

    $= (2x + 2 - x)(2x + 2 + x)$

    $= (x + 2)(3x + 2)$

5. Phối hợp nhiều phương pháp

• Phương pháp giải: Khi giải một bài toán tổng hợp, chúng ta nên cân nhắc áp dụng các phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau đây để lời giải ngắn gọn nhất:

  1. Tiên quyết xét xem có đặt được nhân tử chung hay không.

  2. Xét xem có áp dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ nào không.

  3. Cân nhắc nhóm các hạng tử thích hợp.

• Ví dụ minh họa: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  • a) $3xy^2 - 6xy + 3x$

    $= 3x(y^2 - 2y + 1)$

    $= 3x(y - 1)^2$

  • b) $2x^2 + 4x + 2 - 2y^2$

    $= 2[(x^2 + 2x + 1) - y^2]$

    $= 2[(x + 1)^2 - y^2]$

    $= 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)$

II. Vận Dụng Giải Các Dạng Bài Tập Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $3x - 6y$

b) $\frac{2}{5}x^{2} + 5x^{3} + x^{2}y$

c) $14x^2y – 21xy^2 + 28x^2y^2$

d) $\frac{2}{5}x(y - 1) - \frac{2}{5}y(y - 1)$

e) $10x(x - y) - 8y(y - x)$

Lời giải chi tiết:

a) $3x - 6y$

Nhân tử chung là $3$:

$= 3(x - 2y)$

b) $\frac{2}{5}x^{2} + 5x^{3} + x^{2}y$

Nhân tử chung là $x^2$:

$= x^{2}\left( \frac{2}{5} + 5x + y \right)$

c) $14x^2y – 21xy^2 + 28x^2y^2$

Nhân tử chung là $7xy$:

$= 7xy \cdot 2x - 7xy \cdot 3y + 7xy \cdot 4xy$

$= 7xy(2x - 3y + 4xy)$

d) $\frac{2}{5}x(y - 1) - \frac{2}{5}y(y - 1)$

Nhân tử chung là $\frac{2}{5}(y - 1)$:

$= \frac{2}{5}(y - 1)(x - y)$

e) $10x(x - y) - 8y(y - x)$

Ta thấy $y - x = -(x - y)$ nên ta biến đổi dấu vế sau:

$= 10x(x - y) - 8y[-(x - y)]$

$= 10x(x - y) + 8y(x - y)$

$= (x - y)(10x + 8y)$

$= 2(x - y)(5x + 4y)$

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức

a) Tính giá trị của $A = 15 \cdot 91,5 + 150 \cdot 0,85$

b) Tính giá trị của $B = x(x - 1) - y(1 - x)$ tại $x = 2001$ và $y = 1999$.

Lời giải chi tiết:

Lưu ý: Với dạng bài tập này, chúng ta cần biến đổi biểu thức để xuất hiện nhân tử chung rồi thu gọn trước khi thay số vào tính toán.

a) $A = 15 \cdot 91,5 + 150 \cdot 0,85$

$A = 15 \cdot 91,5 + 15 \cdot 10 \cdot 0,85$

$A = 15 \cdot 91,5 + 15 \cdot 8,5$

$A = 15 \cdot (91,5 + 8,5)$

$A = 15 \cdot 100$

$A = 1500$

b) $B = x(x - 1) - y(1 - x)$

Ta có $1 - x = -(x - 1)$ nên biểu thức trở thành:

$B = x(x - 1) - y[-(x - 1)]$

$B = x(x - 1) + y(x - 1)$

$B = (x - 1)(x + y)$

Thay $x = 2001$ và $y = 1999$ vào biểu thức đã thu gọn:

$B = (2001 - 1)(2001 + 1999)$

$B = 2000 \cdot 4000$

$B = 8000000$

Bài 3: Tìm $x$, biết:

a) $5x(x - 2000) - x + 2000 = 0$

b) $x^3 - 13x = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $5x(x - 2000) - x + 2000 = 0$

$5x(x - 2000) - (x - 2000) = 0$

$(x - 2000)(5x - 1) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 2000 = 0$

$x = 2000$

Trường hợp 2:

$5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Vậy có 2 giá trị $x$ thỏa mãn là $x = 2000$ và $x = \frac{1}{5}$.

b) $x^3 - 13x = 0$

$x(x^2 - 13) = 0$

Trường hợp 1:

$x = 0$

Trường hợp 2:

$x^2 - 13 = 0$

$x^2 = 13$

$x = \sqrt{13}$ hoặc $x = -\sqrt{13}$

Vậy có ba giá trị của $x$ thỏa mãn là $x = 0$, $x = \sqrt{13}$ và $x = -\sqrt{13}$.

Bài 4: Chứng minh rằng $55^{n + 1} - 55^n$ chia hết cho 54 (với $n$ là số tự nhiên)

Lời giải chi tiết:

Ta biến đổi vế trái:

$55^{n + 1} - 55^n = 55^n \cdot 55 - 55^n$

$= 55^n \cdot (55 - 1)$

$= 55^n \cdot 54$

Vì số $54$ luôn chia hết cho $54$ nên tích $55^n \cdot 54$ luôn chia hết cho $54$ với mọi số tự nhiên $n$.

Vậy biểu thức $55^{n + 1} - 55^n$ chia hết cho $54$.

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử dựa vào hằng đẳng thức

a) $x^2 + 6x + 9$

b) $10x – 25 – x^2$

c) $8x^{3} - \frac{1}{8}$

d) $\frac{1}{25}x^{2} - 64y^{2}$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 + 6x + 9$

$= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$

$= (x + 3)^2$

b) $10x – 25 – x^2$

$= -(x^2 - 10x + 25)$

$= -[x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2]$

$= -(x - 5)^2$

c) $8x^{3} - \frac{1}{8}$

$= (2x)^3 - \left( \frac{1}{2} \right)^3$

$= \left( 2x - \frac{1}{2} \right) \left[ (2x)^2 + 2x \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right]$

$= \left( 2x - \frac{1}{2} \right) \left( 4x^2 + x + \frac{1}{4} \right)$

d) $\frac{1}{25}x^{2} - 64y^{2}$

$= \left( \frac{1}{5}x \right)^2 - (8y)^2$

$= \left( \frac{1}{5}x - 8y \right) \left( \frac{1}{5}x + 8y \right)$

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $x^{3} + \frac{1}{27}$

b) $(a + b)^3 – (a – b)^3$

c) $(a + b)^3 + (a – b)^3$

d) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

e) $-x^3 + 9x^2 – 27x + 27$

Lời giải chi tiết:

a) $x^{3} + \frac{1}{27}$

$= x^3 + \left( \frac{1}{3} \right)^3$

$= \left( x + \frac{1}{3} \right) \left[ x^2 - x \cdot \frac{1}{3} + \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right]$

$= \left( x + \frac{1}{3} \right) \left( x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} \right)$

b) $(a + b)^3 – (a – b)^3$

$= [(a + b) - (a - b)] \cdot [(a + b)^2 + (a + b)(a - b) + (a - b)^2]$

$= (a + b - a + b) \cdot (a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2)$

$= 2b \cdot (3a^2 + b^2)$

c) $(a + b)^3 + (a – b)^3$

$= [(a + b) + (a - b)] \cdot [(a + b)^2 - (a + b)(a - b) + (a - b)^2]$

$= (a + b + a - b) \cdot [(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)]$

$= 2a \cdot (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 - 2ab + b^2)$

$= 2a \cdot (a^2 + 3b^2)$

d) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

$= (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot 2x \cdot y^2 + y^3$

$= (2x + y)^3$

e) $-x^3 + 9x^2 – 27x + 27$

$= 27 - 27x + 9x^2 - x^3$

$= 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 - x^3$

$= (3 - x)^3$

Bài 7: Tìm $x$, biết:

a) $2 - 25x^2 = 0$

b) $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $2 - 25x^2 = 0$

$(\sqrt{2} - 5x)(\sqrt{2} + 5x) = 0$

Trường hợp 1:

$\sqrt{2} - 5x = 0$

$5x = \sqrt{2}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{5}$

Trường hợp 2:

$\sqrt{2} + 5x = 0$

$5x = -\sqrt{2}$

$x = -\frac{\sqrt{2}}{5}$

Vậy có 2 giá trị $x$ thỏa mãn là $x = \frac{\sqrt{2}}{5}$ và $x = -\frac{\sqrt{2}}{5}$.

b) $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 0$

$\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = 0$

$x - \frac{1}{2} = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Vậy có 1 giá trị $x$ thỏa mãn là $x = \frac{1}{2}$.

Bài 8: Tính nhanh

a) $73^2 - 27^2$

b) $37^2 - 13^2$

c) $2002^2 - 2^2$

Lời giải chi tiết:

a) $73^2 - 27^2 = (73 + 27)(73 - 27) = 100 \cdot 46 = 4600$

b) $37^2 - 13^2 = (37 + 13)(37 - 13) = 50 \cdot 24 = 1200$

c) $2002^2 - 2^2 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 \cdot 2000 = 4008000$

Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $x^2 – xy + x – y$

b) $xz + yz – 5(x + y)$

c) $3x^2 – 3xy – 5x + 5y$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 – xy + x – y$

Cách 1 (Nhóm hạng tử 1-2 và 3-4): $= (x^2 - xy) + (x - y)$

$= x(x - y) + (x - y)$

$= (x - y)(x + 1)$

Cách 2 (Nhóm hạng tử 1-3 và 2-4): $= (x^2 + x) - (xy + y)$

$= x(x + 1) - y(x + 1)$

$= (x + 1)(x - y)$

b) $xz + yz – 5(x + y)$

$= (xz + yz) - 5(x + y)$

$= z(x + y) - 5(x + y)$

$= (x + y)(z - 5)$

c) $3x^2 – 3xy – 5x + 5y$

Cách 1 (Nhóm hạng tử 1-2 và 3-4): $= (3x^2 - 3xy) - (5x - 5y)$

$= 3x(x - y) - 5(x - y)$

$= (x - y)(3x - 5)$

Cách 2 (Nhóm hạng tử 1-3 và 2-4): $= (3x^2 - 5x) - (3xy - 5y)$

$= x(3x - 5) - y(3x - 5)$

$= (3x - 5)(x - y)$

Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $x^2 + 4x – y^2 + 4$

b) $3x^2 + 6xy + 3y^2 – 3z^2$

c) $x^2 - 2xy + y^2 – z^2 + 2zt – t^2$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 + 4x – y^2 + 4$

Nhóm các hạng tử tạo hằng đẳng thức:

$= (x^2 + 4x + 4) - y^2$

$= (x + 2)^2 - y^2$

$= (x + 2 - y)(x + 2 + y)$

b) $3x^2 + 6xy + 3y^2 – 3z^2$

Đặt nhân tử chung là $3$:

$= 3(x^2 + 2xy + y^2 - z^2)$

$= 3[(x^2 + 2xy + y^2) - z^2]$

$= 3[(x + y)^2 - z^2]$

$= 3(x + y - z)(x + y + z)$

c) $x^2 - 2xy + y^2 – z^2 + 2zt – t^2$

Nhóm thành hai cụm hằng đẳng thức độc lập:

$= (x^2 - 2xy + y^2) - (z^2 - 2zt + t^2)$

$= (x - y)^2 - (z - t)^2$

$= [(x - y) - (z - t)] \cdot [(x - y) + (z - t)]$

$= (x - y - z + t)(x - y + z - t)$

Bài 11: Tìm $x$, biết:

a) $x(x – 2) + x – 2 = 0$

b) $5x(x – 3) – x + 3 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $x(x – 2) + x – 2 = 0$

$x(x - 2) + (x - 2) = 0$

(x - 2)(x + 1) = 0

Trường hợp 1:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Trường hợp 2:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Vậy $x = 2$ hoặc $x = -1$.

b) $5x(x – 3) – x + 3 = 0$

$5x(x - 3) - (x - 3) = 0$

$(x - 3)(5x - 1) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Trường hợp 2:

$5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Vậy $x = 3$ hoặc $x = \frac{1}{5}$.

Bài 12: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3 – 2x^2 + x$

b) $2x^2 + 4x + 2 – 2y^2$

c) $2xy – x^2 – y^2 + 16$

Lời giải chi tiết:

a) $x^3 – 2x^2 + x$

$= x(x^2 - 2x + 1)$

$= x(x - 1)^2$

b) $2x^2 + 4x + 2 – 2y^2$

$= 2(x^2 + 2x + 1 - y^2)$

$= 2[(x^2 + 2x + 1) - y^2]$

$= 2[(x + 1)^2 - y^2]$

$= 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)$

c) $2xy – x^2 – y^2 + 16$

$= 16 - (x^2 - 2xy + y^2)$

$= 4^2 - (x - y)^2$

$= [4 - (x - y)][4 + (x - y)]$

$= (4 - x + y)(4 + x - y)$

Bài 13: Chứng minh rằng $(5n + 2)^2 – 4$ chia hết cho 5 với mọi số nguyên $n$.

Lời giải chi tiết:

Ta biến đổi biểu thức:

$(5n + 2)^2 - 4 = (5n + 2)^2 - 2^2$

$= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)$

$= 5n(5n + 4)$

Vì tích chứa thừa số $5$ nên biểu thức $5n(5n + 4)$ luôn chia hết cho $5$ với mọi số nguyên $n$.

Bài 14: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 – 3x + 2$

b) $x^2 + x – 6$

c) $x^2 + 5x + 6$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 – 3x + 2$

Tách hạng tử trung gian $-3x = -x - 2x$:

$= x^2 - x - 2x + 2$

$= x(x - 1) - 2(x - 1)$

$= (x - 1)(x - 2)$

b) $x^2 + x – 6$

Tách hạng tử trung gian $x = 3x - 2x$:

$= x^2 + 3x - 2x - 6$

$= x(x + 3) - 2(x + 3)$

$= (x + 3)(x - 2)$

c) $x^2 + 5x + 6$

Tách hạng tử trung gian $5x = 2x + 3x$:

$= x^2 + 2x + 3x + 6$

$= x(x + 2) + 3(x + 2)$

$= (x + 2)(x + 3)$

III. Bài Tập Về Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử (Học Sinh Tự Luyện)

Bài tập 1

• 1. $x^2 - y^2 - 2x + 2y$

• 2. $2x + 2y - x^2 - xy$

• 3. $x^2 - 25 + y^2 + 2xy$

• 4. $x^2 - 2x - 4y^2 - 4y$

• 5. $x^2y - x^3 - 9y + 9x$

• 6. $x^2(x - 1) + 16(1 - x)$

Bài tập 2

• 1. $4x^2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)$

• 2. $x^3 + x^2y – 4x – 4y$

• 3. $3(x + 4) – x^2 – 4x$

• 4. $x^3 – 3x^2 + 1 – 3x$

• 5. $5x^2 – 5y^2 – 10x + 10y$

• 6. $3x^2 – 6xy + 3y^2 – 12z^2$

• 7. $x^2 – xy + x – y$

• 8. $x^2 – 2x – 15$

Bài tập 3

• 1. $2x^2 + 3x – 5$

• 2. $x^2 + 4x – y^2 + 4$

• 3. $2x^2 – 18$

• 4. $x^3 – x^2 – x + 1$

• 5. $x^2 – 7xy + 10y^2$

• 6. $x^4 + 6x^2y + 9y^2 - 1$

• 7. $x^3 – 2x^2 + x – xy^2$

• 8. $ax – bx – a^2 + 2ab – b^2$

Bài tập 4

• 1. $x^4y^4 + 4$

• 2. $x^7 + x^2 + 1$

• 3. $x^4y^4 + 64$

• 4. $x^8 + x + 1$

• 5. $x^8 + x^7 + 1$

• 6. $32x^4 + 1$

• 7. $x^8 + 3x^4 + 1$

• 8. $x^4 + 4y^4$

• 9. $x^{10} + x^5 + 1$

Bài tập 5

• 1. $x^2 + 2xy – 8y^2 + 2xz + 14yz – 3z^2$

• 2. $3x^2 – 22xy – 4x + 8y + 7y^2 + 1$

• 3. $12x^2 + 5x – 12y^2 + 12y – 10xy – 3$

• 4. $2x^2 – 7xy + 3y^2 + 5xz – 5yz + 2z^2$

• 5. $x^2 + 3xy + 2y^2 + 3xz + 5yz + 2z^2$

• 6. $x^2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3$

• 7. $x^4 – 13x^2 + 36$

• 8. $x^4 + 3x^2 – 2x + 3$

• 9. $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$

Bài tập 6

• 1. $(a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3$

• 2. $(a – x)y^3 – (a – y)x^3 – (x – y)a^3$

• 3. $x(y^2 – z^2) + y(z^2 – x^2) + z(x^2 – y^2)$

• 4. $(x + y + z)^3 – x^3 – y^3 – z^3$

• 5. $3x^5 – 10x^4 – 8x^3 – 3x^2 + 10x + 8$

• 6. $5x^4 + 24x^3 – 15x^2 – 118x + 24$

• 7. $15x^3 + 29x^2 – 8x – 12$

• 8. $x^4 – 6x^3 + 7x^2 + 6x – 8$

• 9. $x^3 + 9x^2 + 26x + 24$

Bài tập 7

• 1. $(x^2 + x)^2 + 4x^2 + 4x – 12$

• 2. $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$

• 3. $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) – 12$

• 4. $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24$

• 5. $(x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20$

• 6. $x^2 – 4xy + 4y^2 – 2x + 4y – 35$

• 7. $(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16$

• 8. $(x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) – 12$

• 9. $4(x^2 + 15x + 50) - (x^2 + 18x + 74) – 3x^2$