Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng - Toán lớp 8

Chính vì vậy, mà việc nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là điều rất cần thiết. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng giải các dạng bài tập này.

I. Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

- Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (và cả dấu của chúng).

 * Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 15x³ - 5x² + 10x = 5x.(3x²) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x² - x + 2)

 b) 28x²y² - 21xy² + 14x²y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

- Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.

- Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ:

 ♦ (A+B)²= A²+2AB+B²

 ♦ (A–B)²= A²– 2AB+ B²

 ♦ A²–B²= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)³= A³+3A²B +3AB²+B³

 ♦ (A – B)³= A³- 3A²B+ 3AB²- B³

 ♦ A³+ B³= (A+B)(A²- AB +B²)

 ♦ A³- B³= (A- B)(A²+ AB+ B²)

 ♦ (A+B+C)²= A²+ B²+C²+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý:  a+b= -(-a-b) ; (a+b)²= (-a-b)²  ; (a-b)²= (b-a)² ; (a+b)³= -(-a-b)³ ; (a-b)³=-(-a+b)³

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 9x² – 4 = (3x)² – 2² = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x³y⁶ = 2³ – (3xy²)³ = (2 – 3xy²)(4 + 6xy²  + 9x²y⁴)

 c) 25x⁴ – 10x²y + y² = (5x² – y)²

3. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử

* Phương pháp:

- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) 2x³ – 3x² + 2x – 3 = ( 2x³ + 2x) – (3x² + 3)

   = 2x(x² + 1) – 3( x² + 1) = ( x² + 1)( 2x – 3)

 b) x²  – 2xy + y² – 16 = (x – y)² - 4² = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc tách hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp:

- Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) x⁴ + 4 = x⁴ + (4x² - 4x²) + 4 = x⁴ + 4x² + 4 - 4x² = (x²+2)² - 4x²

  = (x²+2-2x)(x²+2+2x)

 b) x⁴ + 1 = x⁴ + 2x² - 2x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 - 2x² = (x²+1)² - 2x² = (x²+1)² - (x√2)²

  = (x²+1-x√2)(x²+1+x√2)

 c) 3x² + 8x + 4 = 3x² + 8x + 16 - 12 = (3x² – 12) + (8x + 16) = 3(x² - 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)[3(x-2)+8] =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x² + 8x + 4 = 4x² - x² + 8x + 4 = (4x² + 8x + 4) – x² = (2x + 2)² – x²

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các phương pháp trên theo thứ tự ưu tiên.

- Phương pháp đặt nhân tử chung.

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

- Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

 a) 3xy² - 6xy + 3x

   = 3x(y² – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

   = 3x(y – 1)² (dùng hằng đẳng thức (A–B)²= A²– 2AB+ B² trong bước này A là y B là 1)

 b) 2x² + 4x + 2 - 2y²

   = 2((x² + 2x +1) - y²)  (đặt nhân tử chung)

   = 2((x+1)² - y²) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)²= A²+2AB+B²) trong bước này A là x; B là 1)

   = 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A²–B²= (A-B)(A+B) trong bước này A là x+ 1 còn B là y)

II. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

 a) 3x - 6y;

 b) ;

 c) 14x²y – 21xy² + 28x²y²;

 d) ;

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* Lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x - 6y = 3(x-2y)

 b)

 c) 14x²y – 21xy² + 28x²y² = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) nên ta có:

 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y[-(x - y)] =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 và y = 1999.

* Lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- Lưu ý: Với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) nên ta có:

 x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y[-(x-1)] =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x  -2000) - x + 2000 = 0;

b) x³ – 13x = 0

* Lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x  -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

⇔⇔

- Kết luận có 2 giá trị x thoả mãn là x = 2000 và x = 1/5.

b) x³ = 13x ⇔ x³ – 13x = 0 ⇔ x(x² – 13) = 0

⇔ ⇔

- Kết luận: Có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  Chứng minh rằng 55^{n + 1} – 55ⁿ chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

- Ta có: 55^{n + 1} – 55ⁿ = 55ⁿ.55 - 55ⁿ = 55ⁿ (55 - 1) = 55ⁿ.54

- Vì 54 chia hết cho 54 nên 55ⁿ.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.

⇒ Vậy 55^{n + 1} – 55ⁿ chia hết cho 54.

Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 6x + 9;   b) 10x – 25 – x²

c) ;   d)

* Lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) x² + 6x + 9 = (x)² + 2.(x).(3) + (3)² = (x+3)²

b) 10x – 25 – x² = –(–10x + 25 + x²) = –(x² - 10x + 25)

= –[(x)² – 2.(5).(x) + (5)²] = –(x–5)²

c)

d) 

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  ;    b) (a + b)³ – (a – b)³ 

c) (a + b)³ + (a – b)³ ;

d) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

e) - x³ + 9x² – 27x + 27.

* Lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: 

a)

b) (a + b)³ – (a – b)³

= [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)² + (a + b).(a – b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b) . (a² + 2ab + b² + a² – b²+ a² – 2ab + b²)

= 2b.(3a²+ b²)

c) (a + b)³ + (a – b)³

= [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)² – (a + b)(a –b) + (a – b)²]

= [(a + b) + (a – b)] . [(a² + 2ab + b²) – (a² – b²) + (a² – 2ab + b²)]

= (a + b + a – b) . (a² + 2ab + b² – a² + b² + a² – 2ab + b²)

= 2a.(a² + 3b²)

d) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ = (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.y² + y³ = (2x + y)³

e) –x³ + 9x² – 27x + 27= (–x)³ + 3.(–x)².3 + 3.(–x).3² + 3³ = (–x + 3)³ = (3 – x)³

Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x² = 0

b) 

* Lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) 2 - 25x² = 0 

- Kết luận: vậy có 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 và x= √2/5.

b) 

- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 73² - 27² ;  b) 37² - 13² ;  c) 2002² - 2²

* Lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 73² – 27² = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 37² – 13² = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 2002² – 2² = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x² –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x² – 3xy – 5x + 5y

* Lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x² – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4

 x² – xy + x – y = (x² – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4

 x² – xy + x – y = (x² + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x² – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

 3x² – 3xy – 5x + 5y = (3x² – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:

 3x² – 3xy – 5x + 5y = (3x² – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x² + 4x –y² + 4

b) 3x² + 6xy + 3y² – 3z²

c) x² – 2xy + y² – z² + 2zt – t²

* Lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x² + 4x – y² + 4 [ta thấy x² + 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x² + 4x + 4) – y² [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)²]

= (x + 2)² – y² [xuất hiện hằng đẳng thức A²-B²]

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x² + 6xy + 3y² – 3z² 

= 3.(x² + 2xy + y² – z²)  [ta thấy x² + 2xy + y² có dạng hằng đẳng thức]

= 3[(x² + 2xy + y²) – z²]  [xuất hiện hằng đẳng thức  (A+B)²]

= 3[(x + y)² – z²]  [xuất hiện hằng đẳng thức A²-B²]

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x² – 2xy + y² – z² + 2zt – t² [ta thấy x² – 2xy + y² và z² – 2zt + t² có dạng hằng đẳng thức)

= (x² – 2xy + y²) – (z² – 2zt + t²) [xuất hiện hằng đẳng thức  (A+B)²]

= (x – y)² – (z – t)²  [xuất hiện hằng đẳng thức A²-B²]

= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)]

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* Lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

⇔  

- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

⇔

- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ – 2x² + x.

b) 2x² + 4x + 2 – 2y²

c) 2xy – x² – y² + 16

* Lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x³ – 2x² + x

= x.x² – x.2x + x.1 [nhân tử chung là x]

= x(x² – 2x + 1)  [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)²]

= x(x – 1)²

b) 2x² + 4x + 2 – 2y² [nhân tử chung là 2]

= 2.(x² + 2x + 1 – y²) [ta thấy x² + 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức]

= 2[(x² + 2x + 1) – y²]

= 2[(x + 1)² – y²]  [xuất hiện hằng đẳng thức A²-B²]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x² – y² + 16 [ta thấy x² ; y² ; 2xy có liên hệ tới hằng đẳng thức]

= 16 – (x² – 2xy + y²) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)²]

= 4² – (x – y)² [xuất hiện hằng đẳng thức A²-B²]

= [4 – (x – y)][4 + (x + y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

* Lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

- Ta có: (5n + 2)² – 4 = (5n + 2)² – 2² = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

- Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)² – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2

b) x² + x – 6

c) x² + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x² – 3x + 2 = x² – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x² – 3x + 2 = x² – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

* Lời giải bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x² – 3x + 2

= x² – x – 2x + 2 [tách –3x = – x – 2x]

= (x² – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) [có x – 1 là nhân tử chung]

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x² – 3x + 2

= x² – 3x – 4 + 6 [tách 2 = – 4 + 6]

= x² – 4 – 3x + 6

= (x² – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) [xuất hiện nhân tử chung x – 2]

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x² + x – 6

= x² + 3x – 2x – 6 [tách x = 3x – 2x]

= x(x + 3) – 2(x + 3) [có x + 3 là nhân tử chung]

= (x + 3)(x – 2)

c) x² + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) [có x + 2 là nhân tử chung]

= (x + 2)(x + 3)

III. Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

- Học sinh tự luyện tập

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x² - y² - 2x + 2y

 2) 2x + 2y - x² - xy 

 3) x² - 25 + y² + 2xy

 4)  x² - 2x - 4y² - 4y           

 5) x²y - x³ - 9y + 9x

 6) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) 4x² – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

 2) x³ + x²y – 4x – 4y

 3) 3(x+ 4) – x² – 4x

 4)  x³ – 3x² + 1 – 3x 

 5) 5x² – 5y² – 10x + 10y

 6) 3x² – 6xy + 3y² – 12z²

 7) x² – xy + x – y

 8) x² – 2x – 15

Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) 2x² + 3x – 5

 2) x² + 4x – y² + 4

 3) 2x² – 18

 4) x³ – x² – x + 1

 5) x² – 7xy + 10y²

 6) x⁴ + 6x²y + 9y² - 1

 7) x³ – 2x² + x – xy²

 8) ax – bx – a² + 2ab – b²

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x⁴y⁴ + 4      2) x⁷ + x² + 1

 3) x⁴y⁴ + 64     4) x⁸ + x + 1

 5) x⁸ + x⁷ + 1     6) 32x⁴ + 1

 7) x⁸ + 3x⁴ + 1    8) x⁴ + 4y⁴ 

 9) x¹⁰ + x⁵ + 1

Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) x² + 2xy – 8y² + 2xz + 14yz – 3z²

 2) 3x² – 22xy – 4x + 8y + 7y² + 1

 3) 12x² + 5x – 12y² + 12y – 10xy – 3

 4) 2x² – 7xy + 3y² + 5xz – 5yz + 2z²

 5) x² + 3xy + 2y² + 3xz + 5yz + 2z²

 6) x² – 8xy + 15y² + 2x – 4y – 3

 7) x⁴ – 13x² + 36

 8) x⁴ + 3x² – 2x + 3

 9) x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³

 2) (a – x)y³ – (a – y)x³ – (x – y)a³

 3) x(y² – z²) + y(z² – x²) + z(x² – y²)

 4) (x + y + z)³ – x³ – y³ – z³

 5) 3x⁵ – 10x⁴ – 8x³ – 3x² + 10x + 8

 6) 5x⁴ + 24x³ – 15x² – 118x + 24

 7) 15x³ + 29x² – 8x – 12

 8) x⁴ – 6x³ + 7x² + 6x – 8

 9) x³ + 9x² + 26x + 24

Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 1) (x² + x)² + 4x² + 4x – 12

 2) (x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8) + 2x²

 3) (x² + x + 1)(x² + x + 2) – 12

 4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

 5) (x² + 2x)² + 9x² + 18x + 20

 6) x² – 4xy + 4y² – 2x + 4y – 35

 7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

 8) (x² + x)² + 4(x² + x) – 12

 9) 4(x² + 15x + 50) - (x² + 18x + 74) – 3x²