Cách chia đơn thức cho đơn thức, Phát biểu quy tắc, Ví dụ và Bài tập Toán 8

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, phát biểu quy tắc tổng quát một cách trực quan, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và hệ thống bài tập tự luyện có lời giải chi tiết.

I. Lý Thuyết Về Phép Chia Đơn Thức Cho Đơn Thức

1. Khái niệm đơn thức chia hết cho đơn thức

Cho $A$ và $B$ là hai đơn thức, trong đó đơn thức $B$ phải khác đa thức $0$ ($B \neq 0$).

Ta nói đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ nếu tìm được một đơn thức $Q$ sao cho:

Trong phép toán này:

• $A$ được gọi là đơn thức bị chia.

• $B$ được gọi là đơn thức chia.

• $Q$ được gọi là đơn thức thương (hoặc gọi tắt là thương).

Ký hiệu thương của phép chia: $Q = A : B$ hoặc $Q = \frac{A}{B}$

2. Điều kiện để đơn thức A chia hết cho đơn thức B

Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi và chỉ khi đáp ứng đầy đủ hai điều kiện sau:

• Tất cả các biến xuất hiện trong đơn thức $B$ đều phải có mặt trong đơn thức $A$.

• Số mũ của từng biến trong đơn thức $B$ không được lớn hơn số mũ của chính biến đó trong đơn thức $A$.

II. Phát Biểu Quy Tắc Chia Đơn Thức Cho Đơn Thức

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trong trường hợp đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$), ta thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1: Chia hệ số của đơn thức $A$ cho hệ số của đơn thức $B$.

• Bước 2: Chia lũy thừa của từng biến trong đơn thức $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong đơn thức $B$.

• Bước 3: Nhân các kết quả vừa tìm được ở hai bước trên lại với nhau để được đơn thức thương cuối cùng.

Các công thức lũy thừa cần nhớ

Để thực hiện bước chia phần biến một cách chính xác, các em cần áp dụng các quy tắc về tính chất lũy thừa đã học ở lớp dưới. Với biến số $x \neq 0$ và hai số tự nhiên $m, n$ thỏa mãn $m \geq n$:

• Khi số mũ lớn hơn ($m > n$):

  $$x^m : x^n = x^{m - n}$$

• Khi hai số mũ bằng nhau ($m = n$):

  $$x^m : x^n = 1$$

• Lũy thừa của một lũy thừa:

  $$(x^n)^m = x^{n \cdot m}$$

III. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính chia hai đơn thức sau:

Lời giải:

Áp dụng công thức lũy thừa để phá ngoặc ngoài cho từng đơn thức:

$(xy^2)^5 = x^5y^{10}$

$(xy^2)^3 = x^3y^6$

Thực hiện phép tính chia theo quy tắc:

$x^5y^{10} : x^3y^6$

$= (x^5 : x^3) \cdot (y^{10} : y^6)$

$= x^{5-3} \cdot y^{10-6}$

$= x^2y^4$

Ví dụ 2: Thực hiện rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau:

Tính giá trị của $P$ tại điểm $x = -2$ và $y = 1$.

Lời giải:

Thực hiện rút gọn biểu thức $P$ bằng cách chia hệ số và chia từng biến:

$P = [15 : (-3)] \cdot (x^4 : x) \cdot (y^2 : y^2)$

$P = -5 \cdot x^{4-1} \cdot 1$

$P = -5x^3$

Thay giá trị $x = -2$ và $y = 1$ vào biểu thức $P$ vừa thu gọn, ta được:

$P = -5 \cdot (-2)^3$

$P = -5 \cdot (-8)$

$P = 40$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ tại các điểm đã cho bằng 40.

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên $n$ (với $n \in \mathbb{N}^*$) để biểu thức $A = 8x^3y^{n+1}$ chia hết cho biểu thức $B = 4x^{n+2}y^2$.

Lời giải:

Để đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$, số mũ của các biến $x$ và $y$ trong đơn thức $B$ phải nhỏ hơn hoặc bằng số mũ tương ứng trong đơn thức $A$.

Đối với biến $x$, ta có điều kiện số mũ:

$n + 2 \leq 3$

$n \leq 1$

Đối với biến $y$, ta có điều kiện số mũ:

$2 \leq n + 1$

$n \geq 1$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:

$1 \leq n \leq 1$

Do đó $n = 1$.

Vì giá trị $n = 1$ thỏa mãn điều kiện thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 ($\mathbb{N}^*$), nên giá trị cần tìm là $n = 1$.

IV. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Có Hướng Dẫn Giải

Các em học sinh hãy tự thực hành giải các bài tập chuyên đề dưới đây để rèn luyện phản xạ tính toán và ghi nhớ sâu quy tắc.

Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = (xy^2)^5 : (xy)^3$ tại điểm $x = 1$ và $y = 1$.

Gợi ý lời giải: Thực hiện khai triển lũy thừa rồi chia đơn thức:

$A = x^5y^{10} : x^3y^3$

$A = x^2y^7$

Thay giá trị $x = 1, y = 1$ vào đa thức thu gọn, ta được:

$A = 1^2 \cdot 1^7 = 1$

Đáp số bài toán bằng 1.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính chia: $x^{15} : (-x)^6$

Gợi ý lời giải: Vì số mũ 6 là số chẵn nên ta có tính chất biến đổi dấu: $(-x)^6 = x^6$.

Phép toán trở thành:

$x^{15} : x^6 = x^{15-6} = x^9$

Đáp số bài toán bằng $x^9$.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính chia: $15xy^2 : 3xy$

Gợi ý lời giải: Chia phần hệ số và chia phần biến tương ứng:

$= (15 : 3) \cdot (x : x) \cdot (y^2 : y)$

$= 5 \cdot 1 \cdot y = 5y$

Đáp số bài toán bằng $5y$.

Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $B = (-5x^2y^3)^2 : 5xy^2$ tại điểm $x = -1$ và $y = 1$.

Gợi ý lời giải: Khai triển lũy thừa vế đầu tiên:

$(-5x^2y^3)^2 = 25x^4y^6$

Thực hiện phép toán chia đơn thức:

$25x^4y^6 : 5xy^2 = 5x^3y^4$

Thay giá trị $x = -1, y = 1$ vào biểu thức thu gọn:

$B = 5 \cdot (-1)^3 \cdot 1^4 = 5 \cdot (-1) \cdot 1 = -5$

Đáp số bài toán bằng $-5$.

Bài tập 5: Thực hiện phép tính chia: $x^5y^7 : (-2x^2y^3)^2$

Gợi ý lời giải: Khai triển bình phương đơn thức chia ở vế sau:

$(-2x^2y^3)^2 = 4x^4y^6$

Thực hiện phép toán chia đơn thức cho đơn thức:

$x^5y^7 : 4x^4y^6 = \frac{1}{4}xy$

Đáp số bài toán bằng $\frac{1}{4}xy$.