Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức và ví dụ (cực hay) Toán 8

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống hóa lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, phân loại chi tiết 9 dạng toán thường gặp cùng ví dụ minh họa trực quan giúp các em rèn luyện tư duy biến đổi linh hoạt.

I. Kiến Thức Cần Nhớ Về 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Học sinh cần ghi nhớ kỹ hai chiều biến đổi (viết xuôi và viết ngược) của các hằng đẳng thức dưới đây:

1. Bình phương của một tổng

• Ví dụ (Bài 16 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1): Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

  • a) $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x + 1)^2$

  • b) $9x^2 + y^2 + 6xy = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = (3x + y)^2$

2. Bình phương của một hiệu

• Ví dụ (Bài 16 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1): Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:

  • c) $25a^2 + 4b^2 - 20ab = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2b + (2b)^2 = (5a - 2b)^2$

  • d) $x^2 - x + \frac{1}{4} = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$

3. Hiệu hai bình phương

• Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tích: $4x^2 - 9$

• Lời giải: $4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$

4. Lập phương của một tổng

• Ví dụ (Bài 26 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1): Khai triển biểu thức:

  $(2x^2 + 3y)^3 = (2x^2)^3 + 3 \cdot (2x^2)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (2x^2) \cdot (3y)^2 + (3y)^3$

  $= 8x^6 + 36x^4y + 54x^2y^2 + 27y^3$

5. Lập phương của một hiệu

• Ví dụ (Bài 26 trang 14 SGK Toán 8 Tập 1): Khai triển biểu thức:

  $\left(\frac{1}{2}x - 3\right)^3 = \left(\frac{1}{2}x\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \cdot 3 + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}x\right) \cdot 3^2 - 3^3$

  $= \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{2}x - 27$

6. Tổng hai lập phương

• Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tích: $x^3 + 64$

  $x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 4^2) = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$

7. Hiệu hai lập phương

• Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tích: $8x^3 - y^3$

  $8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x - y)[(2x)^2 + 2x \cdot y + y^2] = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

Các quy tắc biến đổi dấu cần chú ý:

• $a + b = -(-a - b)$

• $(a + b)^2 = (-a - b)^2$

• $(a - b)^2 = (b - a)^2$

• $(a + b)^3 = -(-a - b)^3$

• $(a - b)^3 = -(-a + b)^3$

II. 9 Dạng Toán Áp Dụng 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước

• Phương pháp: Thu gọn biểu thức bằng cách ép về dạng hằng đẳng thức thu gọn (bình phương hoặc lập phương), sau đó thay giá trị của biến vào để thực hiện phép tính số học.

• Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: $A = x^2 - 4x + 4$ tại $x = -1$.

• Lời giải: Ta có biểu thức thu gọn:

  $A = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$

  $A = (x - 2)^2$

  Thay $x = -1$ vào biểu thức đã thu gọn, ta được:

  $A = (-1 - 2)^2$

  $A = (-3)^2$

  $A = 9$

  Vậy tại $x = -1$ thì giá trị của biểu thức $A$ bằng $9$.

Dạng 2: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số

• Phương pháp: Khai triển các hằng đẳng thức và thực hiện rút gọn các hạng tử đồng dạng sao cho kết quả cuối cùng thu được là một hằng số (không còn chứa biến $x, y$).

• Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$:

  $A = (x - 1)^2 + (x + 1)(3 - x)$

• Lời giải: Thực hiện khai triển và nhân đa thức:

  $A = (x^2 - 2x + 1) + (3x - x^2 + 3 - x)$

  $A = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x + 3$

  Nhóm các hạng tử đồng dạng:

  $A = (x^2 - x^2) + (-2x + 2x) + (1 + 3)$

  $A = 4$

  Vì kết quả bằng $4$ là một hằng số, nên giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $x$.

Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

• Phương pháp: Biến đổi biểu thức đại số về dạng $M = [f(x)]^2 + k$. Vì $[f(x)]^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $M \geq k$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $k$, xảy ra khi $f(x) = 0$.

• Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = x^2 - 2x + 5$

• Lời giải: Tách hạng tử để tạo hằng đẳng thức:

  $A = (x^2 - 2x + 1) + 4$

  $A = (x - 1)^2 + 4$

  Vì $(x - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ với mọi $x$.

  Do đó $A \geq 4$.

  Dấu "=" xảy ra khi:

  $x - 1 = 0$

  $x = 1$

  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $4$, đạt được khi $x = 1$.

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức

• Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng $N = k - [f(x)]^2$. Vì $-[f(x)]^2 \leq 0$ với mọi $x$ nên $N \leq k$. Giá trị lớn nhất của biểu thức là $k$, xảy ra khi $f(x) = 0$.

• Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = 4x - x^2$

• Lời giải: Biến đổi đổi dấu và tách hạng tử:

  $A = -(x^2 - 4x)$

  $A = -(x^2 - 4x + 4 - 4)$

  $A = 4 - (x^2 - 4x + 4)$

  $A = 4 - (x - 2)^2$

  Vì $(x - 2)^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $-(x - 2)^2 \leq 0$ với mọi $x$.

  Suy ra $4 - (x - 2)^2 \leq 4$ với mọi $x$.

  Do đó $A \leq 4$.

  Dấu "=" xảy ra khi:

  $x - 2 = 0$

  $x = 2$

  Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $4$, đạt được khi $x = 2$.

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức đại số

• Phương pháp: Khai triển biểu thức ở vế trái (VT) hoặc vế phải (VP) bằng hằng đẳng thức để chứng minh vế này bằng vế còn lại, hoặc chứng minh hiệu $VT - VP = 0$.

• Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau: $(a + b)^3 - (a - b)^3 = 2b(3a^2 + b^2)$

• Lời giải: Khai triển các hằng đẳng thức ở vế trái:

  $VT = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

  $VT = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3$

  Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

  $VT = (a^3 - a^3) + (3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) + (b^3 + b^3)$

  $VT = 6a^2b + 2b^3$

  Đặt nhân tử chung $2b$ ra ngoài:

  $VT = 2b(3a^2 + b^2)$

  Nhận thấy $VT = VP$. Đẳng thức đã được chứng minh.

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức (Biểu thức luôn âm hoặc luôn dương)

• Phương pháp: Đưa bất đẳng thức về dạng bình phương một tổng hoặc hiệu cộng (trừ) với một số tự do nhằm khẳng định biểu thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0.

• Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau luôn nhận giá trị dương với mọi $x$: $A = x^2 - x + 1$

• Lời giải: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương:

  $A = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

  $A = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

  Vì $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$.

  Vậy biểu thức $A$ luôn dương với mọi giá trị của biến.

• Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau luôn nhận giá trị âm với mọi $x$: $B = (2 - x)(x - 4) - 2$

• Lời giải: Thực hiện nhân đa thức và thu gọn:

  $B = 2x - 8 - x^2 + 4x - 2$

  $B = -x^2 + 6x - 10$

  $B = -(x^2 - 6x + 9) - 1$

  $B = -(x - 3)^2 - 1$

  Vì $(x - 3)^2 \geq 0$ với mọi $x$ nên $-(x - 3)^2 \leq 0$ với mọi $x$.

  Suy ra $-(x - 3)^2 - 1 \leq -1 < 0$ với mọi $x$.

  Vậy biểu thức $B$ luôn nhận giá trị âm với mọi $x$.

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

• Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức viết xuôi hoặc ngược, kết hợp nhóm nhiều hạng tử một cách linh hoạt để tạo ra biểu thức tích.

• Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $A = x^2 - 4x + 4 - y^2$

• Lời giải: Nhóm ba hạng tử đầu tiên để tạo hằng đẳng thức:

  $A = (x^2 - 4x + 4) - y^2$

  $A = (x - 2)^2 - y^2$

  Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

  $A = (x - 2 - y)(x - 2 + y)$

• Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: $B = x^2 - 5x + 6$

• Lời giải: Tách hạng tử trung gian để nhóm:

  $B = x^2 - 2x - 3x + 6$

  $B = x(x - 2) - 3(x - 2)$

  $B = (x - 2)(x - 3)$

Dạng 8: Tìm giá trị của ẩn $x$ trong đẳng thức

• Phương pháp: Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, dùng hằng đẳng thức phân tích vế trái thành một phương trình tích có vế phải bằng 0 để giải tìm $x$.

• Ví dụ: Tìm giá trị của $x$, biết: $x^2(x - 3) - 4x + 12 = 0$

• Lời giải: Nhóm hạng tử đặt nhân tử chung:

  $x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

  $(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

  Khai triển tiếp hiệu hai bình phương:

  $(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

  Hệ tích này dẫn đến ba trường hợp:

  • Trường hợp 1: $x - 3 = 0$ hay $x = 3$

  • Trường hợp 2: $x - 2 = 0$ hay $x = 2$

  • Trường hợp 3: $x + 2 = 0$ hay $x = -2$

    Vậy giá trị $x$ cần tìm là $x = 3$, $x = 2$ hoặc $x = -2$.

Dạng 9: Rút gọn và thực hiện phép tính phân thức đại số

• Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức để phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử, sau đó triệt tiêu các nhân tử chung giống nhau.

• Ví dụ: Tính giá trị của phân thức $I = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 2x + 1}$ tại $x = -1$.

• Lời giải: Phân tích hằng đẳng thức đáng nhớ ở tử và mẫu:

  $I = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)^2}$

  Rút gọn nhân tử chung $(x - 1)$, ta được phân thức thu gọn:

  $I = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}$

  Thay giá trị $x = -1$ vào phân thức đã thu gọn:

  $I = \frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{-1 - 1}$

  $I = \frac{1 - 1 + 1}{-2}$

  $I = -\frac{1}{2}$

  Vậy giá trị của phân thức $I$ tại $x = -1$ là $-\frac{1}{2}$.

III. Bài Tập SGK Hệ Thống Có Lời Giải Chi Tiết

Bài 1: Chứng minh đẳng thức: $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$

Từ đó, em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5. Áp dụng để tính nhẩm: $25^2$; $35^2$; $65^2$; $75^2$.

Lời giải: Khai triển vế trái bằng hằng đẳng thức bình phương một tổng:

$VT = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot 5 + 5^2$

$VT = 100a^2 + 100a + 25$

Đặt nhân tử chung $100a$ cho hai hạng tử đầu tiên:

$VT = 100a(a + 1) + 25 = VP$

Đẳng thức được chứng minh.

Cách tính nhẩm: Để tính bình phương của một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 (dạng $\overline{a5}$), ta lấy hệ số hàng chục là $a$ nhân với số kế tiếp của nó là $(a + 1)$, được kết quả bao nhiêu thì viết thêm số 25 vào đằng sau.

Áp dụng tính nhẩm nhanh:

• $25^2 = 625$ (vì $2 \cdot 3 = 6$, viết thêm 25)

• $35^2 = 1225$ (vì $3 \cdot 4 = 12$, viết thêm 25)

• $65^2 = 4225$ (vì $6 \cdot 7 = 42$, viết thêm 25)

• $75^2 = 5625$ (vì $7 \cdot 8 = 56$, viết thêm 25)

Bài 2: Hãy khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe dưới đây:

• a) $x^2 + 6xy + \dots = (\dots + 3y)^2$

• b) $\dots - 10xy + 25y^2 = (\dots - \dots)^2$

Lời giải: a) Dựa vào cấu trúc hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta xác định:

Hạng tử thứ hai là $3y$, nên hạng tử chứa tích kép là $2 \cdot x \cdot 3y = 6xy$ (thỏa mãn).

Hạng tử còn thiếu ở vế trái là $(3y)^2 = 9y^2$.

Hằng đẳng thức hoàn chỉnh: $x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2$.

b) Nhận thấy đây là cấu trúc hằng đẳng thức bình phương một hiệu:

Hạng tử cuối vế trái là $25y^2 = (5y)^2$, suy ra số thứ hai là $5y$.

Hạng tử tích kép là $10xy = 2 \cdot x \cdot 5y$, suy ra số thứ nhất là $x$.

Hạng tử còn thiếu ở đầu vế trái là $x^2$.

Hằng đẳng thức hoàn chỉnh: $x^2 - 10xy + 25y^2 = (x - 5y)^2$.

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

• a) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9) - (54 + x^3)$

• b) $(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) - (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

Lời giải: a) Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương cho cụm đầu tiên:

$= (x^3 + 3^3) - (54 + x^3)$

$= x^3 + 27 - 54 - x^3$

$= -27$

b) Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương:

$= [(2x)^3 + y^3] - [(2x)^3 - y^3]$

$= 8x^3 + y^3 - 8x^3 + y^3$

$= 2y^3$

IV. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện (Có Đáp Số)

Các em học sinh hãy tự giải các bài tập chuyên đề dưới đây để rèn luyện kỹ năng biến đổi toán học.

Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

• a) $x^2 + 5x + \frac{25}{4}$

• b) $16x^2 - 8x + 1$

• c) $4x^2 + 12xy + 9y^2$

Đáp số Bài 1: a) $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2$; b) $(4x - 1)^2$; c) $(2x + 3y)^2$.

Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

• a) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

• b) $27x^3 - 9x^2 + x - \frac{1}{27}$

• c) $8x^6 + 12x^4y + 6x^2y^2 + y^3$

Đáp số Bài 2: a) $(x + 1)^3$; b) $\left(3x - \frac{1}{3}\right)^3$; c) $(2x^2 + y)^3$.

Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:

• a) $A = (2x + 3)^2 - 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)^2$

• b) $B = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 - 1)$

• c) $C = (x + y - z)^2 + (x - y + z)^2 - 2(y - z)^2$

Đáp số Bài 3: a) $A = 4$; b) $B = x^6 - 1$; c) $C = 2x^2$.