Sử dụng Hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức - Toán 8 chuyên đề

Trong đó việc sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức là một trong những bài toán thường gặp hơn cả. Vì vậy, nội dung bài viết này chúng ta sẽ cùng rèn kỹ năng giải bài tập rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

A. Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức

I. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Dưới đây là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ các em cần học thuộc và vận dụng nhuần nhuyễn việc chuyển đổi qua lại (viết xuôi, viết ngược) giữa hai vế của đẳng thức

1. Bình phương của một tổng

 (A + B)² = A² + 2AB + B²

2. Bình phương của một hiệu

 (A - B)² = A² - 2AB + B²

3. Hiệu hai bình phương

 A² - B² = (A - B)(A + B)

4. Lập phương của một tổng

 (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5. Lập phương của một hiệu

 (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

6. Tổng hai lập phương

 A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)

7. Hiệu hai lập phương

 A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

II. Cách sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức

Để rút gọn các biểu thức ta cần:

 - Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

 - Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức.

 - Nhóm các hạng tử đồng dạng để rút gọn biểu thức

B. Bài tập sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức

* Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:

 A = (x – 2y).(x² + 2xy + y²) - (x + 2y).(x² – 2xy + y²)

* Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

 a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) và

 a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²); với a là x còn b = (2y) ta có:

A = (x – 2y)(x² + 2xy + y²) - (x + 2y)(x² – 2xy + y²)

A = x³ – (2y)³ - [x³ + (2y)³]

A = x³ – 8y³ – x³ – 8y³ 

A = -16y³

* Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

B = (x + 3y)(x² – 3xy + y²) – x²(x + y)

* Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²); với a là x và b là 3y ta được

B = (x + 3y)(x² – 3xy + y²) – x²(x + y)

B = x³ + (3y)³ – x²(x + y)

B = x³ + 27y³ – x³ – x²y

B = 27y³ – x²y

* Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức C = (x + 2)(x² - 2x + 4) - x(x² + 2)

* Lời giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Với a là x và b là 2 ta có

C = (x + 2)(x² - 2x + 4) - x(x² + 2)

C = x³ + 2³ - x(x² + 2)

C = x³ + 2³ - x³ - 2x

C = 8 - 2x

* Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức (x² - y²)(x + y) - (x - y)(x² + xy + y²)

* Lời giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Với a là x và b là y ta có:

C = (x² - y²)(x + y) - (x - y)(x² + xy + y²)

C = x³ + x²y - xy² - y³ - (x³ - y³)

C = x³ + x²y - xy² - y³ - x³ + y³

C = x²y - xy²

* Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau: D = (-2x + 1)(-2x - 1) - 2(x + 1)² - 2(x - 1)²

* Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: a² - b² = (a - b)(a + b)

Với a là (-2x) và b là 1 ta có:

D = (-2x + 1)(-2x - 1) - 2(x + 1)² - 2(x - 1)²

D = (-2x)² - 1² - 2(x² + 2x + 1) - 2(x² - 2x + 1)

D = 4x² - 1 - 2x² - 4x - 2 - 2x² + 4x - 2

D = (4x² - 2x² - 2x²) + (4x - 4x) + (-1 - 2 - 2)

D = -5.