Sử dụng Hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức - Toán 8 chuyên đề

Trong số các phương pháp thường dùng, sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức là dạng toán hay gặp hơn cả. Nội dung bài viết này của Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại lý thuyết, rèn luyện kỹ năng và ghi trọn điểm số ở dạng bài tập này.

I. Lý Thuyết Cần Nhớ

1. 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ

Để rút gọn biểu thức một cách nhanh chóng và chính xác, các em bắt buộc phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây. Đặc biệt, cần linh hoạt vận dụng việc chuyển đổi qua lại (viết xuôi và viết ngược) giữa hai vế của đẳng thức:

1. Bình phương của một tổng: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

2. Bình phương của một hiệu: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

3. Hiệu hai bình phương: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$

4. Lập phương của một tổng: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

5. Lập phương của một hiệu: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

6. Tổng hai lập phương: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

7. Hiệu hai lập phương: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

2. Các bước sử dụng hằng đẳng thứcđể rút gọn biểu thức

Khi giải dạng toán này, quy trình làm bài thông thường sẽ gồm 3 bước cơ bản sau:

• Bước 1: Quan sát biểu thức để phát hiện các cụm có dạng hằng đẳng thức, tiến hành khai triển (viết xuôi) hoặc thu gọn (viết ngược).

• Bước 2: Thực hiện các phép tính đại số khác nếu có (như nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức) để phá hoàn toàn các dấu ngoặc.

• Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau và thực hiện phép tính cộng, trừ để thu được kết quả tối giản nhất.

II. Bài Tập Vận Dụng Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức $A = (x - 2y)(x^2 + 2xy + y^2) - (x + 2y)(x^2 - 2xy + y^2)$

Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ và tổng hai lập phương $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ với $a = x$ và $b = 2y$:

$A = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) - (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

$A = [x^3 - (2y)^3] - [x^3 + (2y)^3]$

$A = (x^3 - 8y^3) - (x^3 + 8y^3)$

$A = x^3 - 8y^3 - x^3 - 8y^3$

$A = (x^3 - x^3) + (-8y^3 - 8y^3)$

$A = -16y^3$

Vậy biểu thức rút gọn $A = -16y^3$.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $B = (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) - x^2(x + y)$

Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương với $a = x$ và $b = 3y$ cho vế đầu, đồng thời nhân đơn thức với đa thức cho vế sau:

$B = [x^3 + (3y)^3] - (x^3 + x^2y)$

$B = x^3 + 27y^3 - x^3 - x^2y$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$B = (x^3 - x^3) + 27y^3 - x^2y$

$B = 27y^3 - x^2y$

Vậy biểu thức rút gọn $B = 27y^3 - x^2y$.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $C = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x^2 + 2)$

Lời giải: Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ với $a = x$ và $b = 2$:

$C = (x^3 + 2^3) - x(x^2 + 2)$

$C = x^3 + 8 - x^3 - 2x$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$C = (x^3 - x^3) - 2x + 8$

$C = 8 - 2x$

Vậy biểu thức rút gọn $C = 8 - 2x$.

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức $D = (x^2 - y^2)(x + y) - (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Lời giải: Thực hiện nhân đa thức với đa thức ở cụm đầu tiên, và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương với $a = x, b = y$ ở cụm thứ hai:

$D = (x^3 + x^2y - xy^2 - y^3) - (x^3 - y^3)$

Phá ngoặc và đổi dấu các hạng tử bên trong:

$D = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 - x^3 + y^3$

Nhóm các hạng tử đồng dạng để thu gọn:

$D = (x^3 - x^3) + (y^3 - y^3) + x^2y - xy^2$

$D = x^2y - xy^2$

Trình bày dưới dạng tối giản, vậy biểu thức rút gọn $D = x^2y - xy^2$.

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức $E = (-2x + 1)(-2x - 1) - 2(x + 1)^2 - 2(x - 1)^2$

Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho cụm đầu tiên dạng $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ với $a = -2x, b = 1$. Đồng thời khai triển bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu ở các cụm tiếp theo:

$E = [(-2x)^2 - 1^2] - 2(x^2 + 2x + 1) - 2(x^2 - 2x + 1)$

$E = (4x^2 - 1) - (2x^2 + 4x + 2) - (2x^2 - 4x + 2)$

Phá ngoặc đổi dấu và phá các hạng tử:

$E = 4x^2 - 1 - 2x^2 - 4x - 2 - 2x^2 + 4x - 2$

Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

$E = (4x^2 - 2x^2 - 2x^2) + (4x - 4x) + (-1 - 2 - 2)$

$E = 0 + 0 - 5$

$E = -5$

Vậy biểu thức rút gọn $E = -5$ (kết quả là một hằng số).

III. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao

Để tự kiểm tra mức độ hiểu bài cũng như rèn luyện phản xạ tính toán nhanh, các em hãy tự hoàn thiện các bài tập rút gọn biểu thức dưới đây vào vở bài tập nhé:

Bài tập 6: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = (x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y)$

b) $B = (2x + 3)^2 - 2(2x + 3)(2x - 5) + (2x - 5)^2$

c) $C = (x + 1)^3 - (x - 1)^3 - 6(x + 1)(x - 1)$

Bài tập 7: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:

a) $M = (x - 10)^2 - x(x - 20)$ tại $x = 99$

b) $N = (x + 2)^3 - x^2(x + 6) - 12x$ tại $x = 2026$