Các dạng toán về Phương trình bậc nhất một ẩn và bài tập vận dụng - Toán lớp 8

Đối với phương trình bậc nhất 1 ẩn cũng có khá nhiều dạng toán, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán này và vận dụng giải các bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn từ đơn giản đến nâng cao qua bài viết này.

I. Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc nhất 1 ẩn

1. Phương trình tương đương là gì?

- Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có chung tập hợp nghiệm. Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không.

2. Phương trình bậc nhất 1 ẩn là gì? phương pháp giải?

a) Định nghĩa:

- Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0). Thông thường để giải phương trình này ta chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế.

b) Phương pháp giải

* Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:

 + Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí
và đổi dấu hạng tử đó.

 + Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = -b/a.

- Phương trình ax + b = 0 được giải như sau:

 ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x = -b/a.

⇒ Tập nghiệm S = {-b/a}.

3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất

- Dùng các phép biến đổi như: nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế…để đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0.

4. Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:

 A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Ngoài những phương trình có cách giải đặc biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:

• Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
• Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu.
• Giải phương trình sau khi bỏ mẫu.
• Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.
• Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa ĐKXĐ.

6. Giải toán bằng cách lập phương trình:

- Bước 1: Lập phương trình:

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình bểu thị mối quan hệ giữa các đạn lượng.

- Bước 2: Giải phương trình.

- Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi kết luận.

* Chú ý:

- Số có hai, chữ số được ký hiệu là: 

 Giá trị của số đó là:  = 10a + b; (Đk: 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b ≤ 9, a, b ∈ N)

- Số có ba, chữ số được ký hiệu là: 

 Giá trị số đó là: = 100a + 10b + c, (Đk: 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b ≤ 9, 0 ≤ c ≤ 9; a, b, c ∈ N)

- Toán chuyển động: Quãng đường = vận tốc * thời gian; Hay S = v.t;

II. Các dạng toán về phương trình bậc nhất một ẩn

• Dạng 1: Phương trình đưa về phương trình bậc nhất

* Phương pháp

 - Quy đồng mẫu hai vế

 - Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

 - Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.

 - Thu gọn về dạng ax + b = 0 và giải.

+ Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0

 - Dạng 1: 0x = 0: Phương trình có vô số nghiệm

 - Dạng 2: 0x = c (c ≠ 0): Phương trình vô nghiệm

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 3x – 2 = 2x – 3

b) 7 – 2x = 22 – 3x

c) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

d) 2( x + 3 ) = 2( x - 4 ) + 14

e) 2x - 1 + 2(2 - x) = 1

* Lời giải:

a) 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x - 2x = -3 + 2 ⇔ x = -1;

 Phương trình có tập nghiệm S = {-1}.

b) 7 – 2x = 22 – 3x ⇔ -2x + 3x = 22 - 7 ⇔ x = 15 ;

 Phương trình có tập nghiệm S = {15}.

c) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1 ⇔ x + 4x - 2x = 25 - 1 +12 ⇔ 3x = 36 ⇔ x =12 ;

 Phương trình có tập nghiệm S = {12}.

d) 2( x + 3 ) = 2( x - 4 ) + 14 ⇔ 2x - 2x = -8 + 14 - 6 ⇔ 0x = 0

 Phương trình có vô số nghiệm: S = R

e) 2x - 1 + 2(2 - x) = 1 ⇔ 2x - 1 + 4 - 2x = 1 ⇔ 2x - 2x = 1 + 1 - 4 ⇔ 0x = -2

 Phương trình vô nghiệm: S = Ø

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x

b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y

c) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

d) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x

* Bài tập 2: Giải biện luận phương trình: 2(mx + 5) + 5 (x + m) = m (*)

° Hướng dẫn giải:

- Đây là dạng phương trình có chứa tham số, cách giải như sau:

  Thu gọn về dạng ax + b = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp:

   Trường hợp a ≠ 0: phương trình có một nghiệm x = -b/a.

  _ Trường hợp a = 0, ta xét tiếp: 

+ Nếu b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

+ Nếu b = 0, PT vô số nghiệm

- PT (*) ⇔ 2mx + 10 + 5x + 5m = m

 ⇔ (2m + 5)x = m - 5m -10

 ⇔ (2m + 5)x = -2(2m +5 )

 - Biện luận:

  + Nếu 2m + 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ -5/2 ⇒ phương trình có nghiệm x = -2;

  + Nếu 2m + 5 = 0 ⇔ m = -5/2 ⇒ phương trình có dạng 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.

 - Kết luận:

  Với m ≠ -5/2 phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

  Với m = -5/2 phương trình có tập nghiệp là S = R.

» xem thêm: Bài tập phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất ax+b=0 

• Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng phương trình tích

* Phương pháp:

- Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:

 A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

- Ta giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) (3x - 2)(4x + 5) = 0

b) 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0

* Lời giải:

a) (3x - 2)(4x + 5) = 0

 ⇔ 3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

 ⇔ 3x = 2 hoặc 4x  = -5

 ⇔ x = 2/3 hoặc x  = -5/4

 Vậy tập nghiệm là S = {2/3; -5/4}

b) 2x(x - 3) + 5(x - 3) = 0

 ⇔ (x - 3)(2x + 5) = 0

 ⇔ x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

 ⇔ x = 3 hoặc 2x = -5

 ⇔ x = 3 hoặc x = -5/2

 Vậy tập nghiệp là S = {3; -5/2}

* Bài tập: Giải các phương trình sau

a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

b) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

c) (4x – 10)(24 + 5x) = 0

d) (5x + 2)(x – 7) = 0

e) (5x + 2)(x – 7) = 0

f) (4x + 2)(x² + 1) = 0  

g) (x² + 1)(x² – 4x + 4) = 0

h) (x – 1)(2x + 7)(x² + 2) = 0

i) (3x + 2)(x² – 1) = (9x² – 4)(x + 1)

» xem thêm: Bài tập giải phương trình tích cực hay

• Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu

* Phương pháp

- Phương trình có chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng: 

- Trong đó A(x), B(x), C(x), D(x) là các đa thức chứa biến x

+ Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

  Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

  Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

  Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.

  Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) (x+3)/x = (5x+3)/(5x-1)   (*)

b)    (**)

* Lời giải:

a) (x+3)/x = (5x+3)/(5x-1)

 - ĐKXĐ của PT: x ≠ 0 và 5x-1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 1/5;

 PT (*) ⇔ 

 ⇔ (5x - 1)(x + 3) = x(5x - 3)

 ⇔ 5x² + 14x - 3 = 5x² + 3x

 ⇔ 5x² + 14x - 5x² - 3x = 3

 ⇔ 11x = 3 ⇔ x = 3/11 (thoả mã ĐKXĐ)

 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3/11}.

b) 

 - ĐKXĐ của PT: x - 1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 và x ≠ -1

 Quy đồng và khử mẫu ta được:

 PT (**) ⇔ (x + 1)² - (x - 1)² = 3x(x - 1)(x+1 - x + 1)

 ⇔  x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 6x(x - 1)

 ⇔  4x = 6x² - 6x

 ⇔ 6x² - 10x = 0

 ⇔ 2x(3x - 5) = 0

 ⇔ 2x = 0 hoặc 3x - 5 = 0

 ⇔  x = 0 hoặc x = 5/3 (thoả ĐKXĐ)

 Vậy tập nghiệp S = {0; 5/3}.

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

* Bài tập 2: Cho phương trình chứa ẩn x: 

a) Giải phương trình với a = – 3.

b) Giải phương trình với a = 1.

c) Giải phương trình với a = 0.

» xem thêm: Bài tập giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay

• Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp

+ Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:

 Bước 1: Lập phương trình

 – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

 – Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

 – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

 Bước 2: Giải phương trình

 Bước 3: Trả lời; Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng so sánh

* Trong đầu bài thường có các từ:

– nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, ...: tương ứng với phép toán cộng.

– ít hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, ...: tương ứng với phép toán trừ.

– gấp nhiều lần: tương ứng với phép toán nhân.

– kém nhiều lần: tương ứng với phép toán chia.

* Ví dụ: Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng 13

° Lời giải: Gọi số nguyên nhỏ là x, thì số nguyên lớn là x+1; ta có: 2x + 3(x+1) = 13

⇔ 5x = 10 ⇔ x = 2

 Kết luận: vậy số nguyên nhỏ là 2, số nguyên lớn là 3;

* Bài tập luyện tập

Bài 1: Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu.

* Đ/S: 8; 12; 5; 20;

Bài 2: Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đó.

* Đ/S: 24; 8;

Bài 3: Trước đây 5 năm, tuổi Trang bằng nửa tuổi của Trang sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Trang hiện nay.

* Đ/S: 14 tuổi.

Bài 4: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng tìm số gồm 2, 3 chữ số

- Số có hai chữ số có dạng:   = 10a + b; (Đk: 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b ≤ 9, a, b ∈ N)

- Số có ba chữ số có dạng: = 100a + 10b + c, (Đk: 1 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b ≤ 9, 0 ≤ c ≤ 9; a, b, c ∈ N)

* Loại toán tìm hai số, gồm các bài toán như:

 - Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng.

 - Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng.

 - Toán tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.

* Ví dụ 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó.

* Lời giải: Gọi số bé là x thì số lớn là: x +12.

- Chia số bé cho 7 ta được thương là: x/7

- Chia số lớn cho 5 ta được thương là: (x+12)/5

- Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:

  

- Giải phương trình ta được x = 28 ⇒ vậy số bé là 28. ⇒ Số lớn là: 28 +12 = 40.

* Ví dụ 2: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được phân số 1/2. Tìm phân số đã cho.

* Lời giải: Gọi tử của phân số đã cho là x (x ≠ 0) thì mẫu của phân số đó là x + 3

 Tăng tử thêm 2 đơn vị thì ta được tử mới là: x + 2

 Tăng mẫu thêm 2 đơn vị thì được mẫu mới là: x + 3 + 2 = x +5

 Theo bài ra ta có phương trình:  (ĐKXĐ: x ≠ -5)

 ⇒ 2( x + 2 ) = x + 5

 ⇔ 2x - x = 5 - 4

 ⇔ x = 1 (thảo điều kiện); vậy phân số đã cho là 1/4

3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Làm chung - làm riêng 1 việc

- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc, biểu thị bởi số 1.

- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian. Gọi A là khối lượng công việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta có: A=nt .

- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.

* Ví dụ 1: Hai đội công nhân làm chung 6 ngày thì xong công việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới hoàn thành công việc.

* Hướng dẫn giải: Hai đội làm chung trong 6 ngày xong công việc nên một ngày 2 đội làm được 1/6 công việc, lập phương trình theo bảng.

	Đội 1	Đội 2	Phương trình
Số ngày làm riêng xong công việc	x (ĐK: x>5)	x-5	1/x + 1/(X-5)=1/6
Công việc làm trong 1 ngày	1/x	1/(x-5)

* Ví dụ 2: Một xí nghiệp hợp đồng sản xuất một số tấm len trong 20 ngày, do năng suất làm việc vượt dự tính là 20% nên không những xí nghiệp hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 24 tấm len. Hỏi theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt bao nhiêu tấm len?

* Hướng dẫn giải: 

	Tổng sản phẩm	Năng suất	Phương trình
Theo kế hoạch	x (ĐK: x>0)	x/20	(x/20) + (x/20).(20/100) = (x+24)/18
Thực tế	x+24	(x+24)/18

4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Chuyển động đều

- Gọi d là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta có: d = vt.

- Vận tốc xuôi dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước

- Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

+ Loại toán này có các loại thường gặp sau:

  1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường.

  2. Toán chuyển động thường.

  3. Toán chuyển động có nghỉ ngang đường.

  4. Toán chuyển động ngược chiều.

  5. Toán chuyển động cùng chiều.

  6. Toán chuyển động một phần quãng đường.

* Ví dụ 1: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h20',ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô và ô tô?

* Lời giải: Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).

 Quãng đường ca nô đi là: (10/3)x (km).

 Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km).

 Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

 2(x+17) - (10/3)x = 10

 Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).

 Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h).

 Vận tốc ô tô là: 18 + 17 = 35 (km/h).

* Ví dụ 2: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20'. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

* Hướng dẫn và lời giải:

 - Với các bài toán chuyển động dưới nước, các em cần nhớ:

 v_xuôi  = v_thực + v_nước

 v_ngược  = v_{thực -} v_nước

- Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x (km/h). Điều kiện (x>0).

- Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 (km/h).

- Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x - 4 (km/h).

 Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x+4) (h).

 Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x-4) (h).

- Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h20' = 25/3 (h) nên ta có phương trình:

 

- Giải phương trình trên được x₁ = -5/4 (loại) và x₂ = 20 (thoả).

 Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là: 20 (km/h).

* Ví dụ 3: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.

* Hướng dẫn và lời giải:

- Dạng chuyển động có nghỉ ngang đường, các em cần nhớ:

 t_{dự định} =t_đi + t_nghỉ

 Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi

- Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x (km/h) (Điều kiện: x>0)

 Vận tốc lúc sau là 1,2x (km/h).

- Thời gian đi quãng đường đầu là:163/x (h)

- Thời gian đi quãng đường sau là: 100/x (h)

- Theo bài ra ta có phương trình:

  

 - Giải phương trình ta được x = 30 (thoả ĐK)

 Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

* Ví dụ 4: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30'
với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

* Hướng dẫn và lời giải:

 - Dạng chuyển động ngược chiều, các em cần nhớ:

  Hai chuyển động để gặp nhau thì: S₁ + S₂ = S

  Hai chuyển động đi để gặp nhau: t₁ = t₂ (không kể thời gian đi sớm).

- Gọi thời gian đi của xe 2 là x (h) (ĐK:x > 0)

- Thời gian đi của xe 1 là x + 3/2 (h).

- Quãng đường xe 2 đi là: 35x (km).

- Quãng đường xe 1 đi là: 30(x + 3/2) (km).

- Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

 

- Giải phương trình trên được: x = 2 (thoả ĐK)

 Vậy sau 2 giờ 2 xe gặp nhau.

* Ví dụ 5: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20' một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

* Hướng dẫn và lời giải:

 - Dạng chuyển động cùng chiều, các em cần nhớ:

 + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

 + Cùng khởi hành: t_{c/đ chậm} - t_{c/đ nhanh} = t_{nghỉ (tđến sớm)}

 + Xuất phát trước sau: t_{c/đ trước} - t_{c/đ sau} = t_{đi sau}; t_{c/đ sau} + t_{đi sau} + t_{đến sớm} = t_{c/đ trước}

- Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h).

- Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h).

- Thời gian thuyền đi là: 20/x

- Thời gian ca nô đi là: 20/(x+12)

- Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20' =16/3 (h) và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình:

 

- Giải phương trình được x₁ = -15 (loại); x₂ = 3 (thoả)

 Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

* Ví dụ 6: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1h40'. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

* Hướng dẫn và lời giải:

+ Dạng chuyển động 1 phần quãng đường, các em cần nhớ:

 _ t_{dự định} = t_đi +t_nghỉ + t_{về sớm}

 _ t_{dự định} = t_{thực tế} - t_{đến muộn}

 _ t_{chuyển động trước} - t_{chuyển động sau} = t_{đi sau} (t_{đến sớm})

+ Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là: x/2; x/3; 2x/3;...

* Bài tập luyện tập

Bài 1: Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, rồi từ B quay ngay về A với vận tốc 40 km/h. Cả đi và về mất một thời gian là 5 giờ 24 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B.

* Đ/S: 120 km.

Bài 2: Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h. Sau đó 3 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 50 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

* Đ/S: 2 (h).

Bài 3: Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B.

* Đ/S: 80 km.

Bài 4: Lúc 6 giờ 15 phút, một ô tô đi từ A để đên B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ô tô nghỉ 1 giờ
rưỡi, rồi quay về A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB.

* Đ/S: 105 km.

Bài 5: Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 5 giờ, từ bến B đến bến A hết 7 giờ. Hỏi một đám bèo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu?

* Đ/S: 35 (h).

III. Bài tập luyện tập có lời giải về phương trình bậc nhất 1 ẩn

Bài 8 trang 10 sgk toán 8 tập 2: Giải các phương trình sau

a) 4x – 20 = 0

b) 2x + x + 12 = 0

c) x – 5 = 3 – x

d) 7 – 3x = 9 – x

* Lời giải bài 8 trang 10 sgk toán 8 tập 2:

a) 4x – 20 = 0 ⇔ 4x = 20 ⇔ x = 5

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

b) 2x + x + 12 = 0 ⇔ 3x + 12 = 0 ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4

⇒ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -4

c) x – 5 = 3 – x ⇔ x + x = 5 + 3 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

d) 7 – 3x = 9 – x ⇔ 7 – 9 = 3x – x ⇔ -2 = 2x ⇔ x = -1

⇒ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

Bài 9 trang 10 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm.

* Lời giải Bài 9 trang 10 SGK Toán 8 tập 2:

a) 3x – 11 = 0 ⇔ 3x = 11 ⇔ x = 11/3 ⇔ x≈3,67

b) 12 + 7x = 0 ⇔ 7x = -12 ⇔ x = -12/7 ⇔ x≈-1,71

c) 10 – 4x = 2x – 3 ⇔ 10+ 3 = 2x + 4x ⇔ 6x = 13 ⇔ x = 13/6 ⇔ x≈2,17

Bài 11 trang 13 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình:

a) 3x – 2 = 2x – 3

b) 3 – 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u

c) 5 – (x – 6) = 4.(3 – 2x)

d) -6(1,5 – 2x) = 3(-15 + 2x)

e) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7

* Lời giải Bài 11 trang 13 SGK Toán 8 tập 2:

a) 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x – 2x = -3 + 2 ⇔ x = -1.

⇒ Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

b) 3 – 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u

⇔ -4u + 6u – u – 3u = 27 – 3 – 24 ⇔ -2u = 0 ⇔ u = 0.

⇒ Vậy phương trình có nghiệm u = 0.

c) 5 – (x – 6) = 4.(3 – 2x) ⇔ 5 – x + 6 = 12 – 8x

⇔ -x + 8x = 12 – 5 – 6 ⇔ 7x = 1 ⇔ x = 1/7

⇒ Vậy phương trình có nghiệm x=1/7

d) -6(1,5 – 2x) = 3(-15 + 2x) ⇔ -6.1,5 + (-6).(-2x) = 3.(-15) + 3.2x

⇔ -9 + 12x = -45 + 6x ⇔ 12x – 6x = -45 + 9 ⇔ 6x = -36 ⇔ x = -6.

⇒ Vậy phương trình có nghiệm x = -6.

e) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7 ⇔ 0,1 – 2.0,5t + 2.0,1 = 2t – 2.2,5 – 0,7

⇔ 0,1 – t + 0,2 = 2t – 5 – 0,7 ⇔ 0,1 + 0,2 + 5 + 0,7 = 2t + t ⇔ 6 = 3t ⇔ t = 2.

⇒ Vậy phương trình có nghiệm t = 2.

Bài 12 trang 13 SGK Toán 8 tập 2: Giải phương trình

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải bài 12 trang 13 SGK Toán 8 tập 2

a)  

  

   

- Kết luận: nghiệm x = 1

b) 

  

 

 

- Kết luận: nghiệm là -51/2

c) 

 

 

 

- Kết luận: nghiệm x = 1

d) 

 

 

 

- Kết luận: nghiệm x = 0.

Bài 13 trang 13 SGK Toán 8 tập 2: Bạn Hòa giải phương trình x(x + 2) = x(x + 3) như dưới đây.

 ⇔ x+2 = x+3

 ⇔ x-x = 3-2

 ⇔ 0 = 1

Theo em, bạn Hòa giải đúng hay sai?

* Lời giải Bài 13 trang 13 SGK Toán 8 tập 2:

- Các giải của bạn Hoà sai, ở bước 2 không thể chia 2 vế cho x vì chưa biết x = 0 hay x ≠ 0, cách giải đúng như sau:

 x(x + 2) = x(x + 3) ⇔ x(x + 2) - x(x + 3) = 0

⇔ x(x+2-x-3) = 0 ⇔ x(-1) = 0 ⇔ x = 0

Bài 21 trang 17 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình

a) (3x - 2)(4x + 5) = 0

b) (2,3x - 6,9)(0,1x + 2) = 0

c) (4x + 2)(x² + 1) = 0

d) (2x + 7)(x - 5)(5x + 1) = 0

* Lời giải bài 21 trang 17 SGK Toán 8 tập 2:

a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

+) 3x – 2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =2/3

+) 4x + 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = -5/4

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={2/3;-5/4} 

b) (2,3x – 6,9).(0,1x + 2) = 0

⇔ 2,3x – 6,9 = 0 hoặc 0,1x + 2 = 0

+) 2,3x – 6,9 = 0 ⇔ 2,3x = 6,9 ⇔ x = 3.

+) 0,1x + 2 = 0 ⇔ 0,1x = -2 ⇔ x = -20.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={3;-20} 

c) (4x + 2)(x² + 1) = 0

⇔ 4x + 2 = 0 hoặc x² + 1 = 0

+ 4x + 2 = 0 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2

+ x² + 1 = 0 ⇔ x² = -1 (PT vô nghiệm).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-1/2} 

d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

⇔ 2x + 7 = 0 hoặc x – 5 = 0 hoặc 5x + 1 = 0

+) 2x + 7 = 0 ⇔ 2x = -7 ⇔ x=-7/2

+) x – 5 = 0 ⇔ x = 5.

+ 5x + 1 = 0 ⇔ 5x = -1 ⇔ x=-1/5

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-7/2;-1/5}

Bài 22 trang 17 SGK Toán 8 tập 2: Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:

a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0;

b) (x² – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0;

c) x³ – 3x² + 3x – 1 = 0;

d) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0;

e) (2x – 5)² – (x + 2)² = 0;

f) x² – x – (3x – 3) = 0.

* Lời giải bài 22 trang 17 SGK Toán 8 tập 2:

a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

⇔ (2x + 5)(x – 3) = 0

⇔ 2x + 5 = 0 hoặc x – 3 = 0

+) 2x + 5 = 0 ⇔2x = -5 ⇔ x = -5/2

+) x – 3 = 0 ⇔x = 3.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-5/2;3}

b) (x² – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

⇔ (x – 2)[(x + 2) + (3 – 2x)] = 0

⇔ (x – 2)(5 – x) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc 5 – x = 0

+) x – 2 = 0 ⇔ x = 2

+) 5 – x = 0 ⇔ x = 5.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={2;5}

c) x³ – 3x² + 3x - 1 = 0 [có dạng hằng đẳn thức]

⇔ (x – 1)³ = 0 ⇔ x – 1 = 0

⇔ x = 1.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={1}

d) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

⇔ x(2x – 7) – 2(2x – 7) = 0

⇔(x – 2)(2x – 7) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc 2x – 7 = 0

+) x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

+) 2x – 7 = 0 ⇔ 2x = 7 ⇔ x = 7/2

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={7/2;2}

e) (2x – 5)² – (x + 2)² = 0

⇔ [(2x – 5) - (x + 2)].[(2x – 5) + (x + 2)]= 0

⇔ (x – 7)(3x – 3) = 0

⇔ x – 7 = 0 hoặc 3x – 3 = 0

+) x – 7 = 0 ⇔ x = 7

+) 3x – 3 = 0 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {1;7}.

f) x² – x – (3x – 3) = 0

⇔ x(x – 1) – 3(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x – 3) = 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 3 = 0

+) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

+) x – 3 = 0 ⇔ x = 3

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 3}.

Bài 22 trang 27 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình:

a)      b) 

c)      d) 

* Lời giải bài 22 trang 27 SGK Toán 8 tập 2: 

a) 

- Điều kiện xác định: (x+5)≠0 ⇒ x≠-5.

- Ta có:

 ⇔ 2x – 5 = 3(x + 5)

 ⇔ 2x – 5 = 3x + 15

 ⇔ -5 – 15 = 3x – 2x

 ⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.

b) 

- Điều kiện xác định: x ≠ 0.

- Ta có: 

⇔ 2(x² – 6) = 2x² + 3x

⇔ 2x² – 12 – 2x² – 3x = 0

⇔ 3x = 12

⇔ x = 4 (thỏa đkxđ).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4}.

c) 

- Điều kiện xác định: x ≠ 3.

- Ta có: 

⇔ x² + 2x – (3x + 6) = 0

⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x – 3) = 0

⇔ x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0

+) x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).

+) x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ)

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

d) 

- Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.

- Ta có: 

⇔ 5 = (2x – 1)(3x + 2)

⇔ 2x.3x – 3x.1 + 2x.2 – 2.1 = 5

⇔ 6x² – 3x + 4x – 2 = 5

⇔ 6x² + x – 7 = 0.

⇔ 6x² – 6x + 7x – 7 = 0 [tách hạng tử để phân tích nhân tử]

⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(6x + 7) = 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc 6x + 7 = 0

+) x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

+) 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = - 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ)

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S={1;-7/6}

Bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình:

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2:

a) 

- Điều kiện xác định: x ≠ 1.

- Ta có:  

⇔ 2x – 1 + x – 1 = 1

⇔ 3x – 2 = 1

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

⇒ Vậy phương trình vô nghiệm.

b) 

- Điều kiện xác định: x ≠ -1.

- Ta có: 

⇔ 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ)

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}

c) 

- Điều kiện xác định: x ≠ 0.

- Ta có: 

⇔ x³ + x = x⁴ + 1

⇔ x⁴ + 1 – x³ – x = 0

⇔ (x⁴ – x³) + (1 – x) = 0

⇔ x³(x – 1) – (x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x³ – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x – 1)(x² + x + 1) = 0

⇔ x – 1 = 0 (vì x² + x + 1 = (x + ½)² + ¾ >0 với mọi x).

⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.

d) 

- Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.

- Ta có: 

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2x(x + 1)

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0

⇔ x² + 3x + x² + x – 2x – 2 – (2x² + 2x) = 0

⇔ x² + x² – 2x² + 3x + x – 2x – 2x – 2 = 0

⇔ 0x – 2 = 0

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Bài 50 trang 33 sgk toán 8 tập 2: Giải các phương trình

a) 3 - 4x(25-2x) = 8x² + x - 300

b) 

c) 

d) 

* Lời giải bài 50 trang 33 sgk toán 8 tập 2:

a) 3 - 4x(25-2x) = 8x² + x - 300

 ⇔ 3 - 100x + 8x² = 8x² + x - 300

 ⇔ 101x = 303 ⇔ x = 3.

⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}.

b) 

 ⇔  = 

 ⇔ 8 - 24x - 4 - 6x = 140 - 30x - 15

 ⇔ 8 - 24x - 4 - 6x = 140 - 30x - 15

 ⇔ 0x = 121 ⇒ PT vô nghiệm

c) 

 ⇔  = 

 ⇔ 5(5x + 2) – 10(8x – 1) = 6(4x + 2) – 150

 ⇔ 25x + 10 – 80x + 10 = 24x + 12 – 150

 ⇔ 25x – 80x – 24x = 12 – 150 – 10 – 10

 ⇔ -79x = -158 (bước này cũng có thể viết:  79x = 158)

 ⇔ x = 2.

⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}.

d) 

⇔  = 

⇔ 3(3x + 2) – (3x + 1) = 12x + 10

⇔ 9x + 6 – 3x – 1 = 12x + 10

⇔ 9x – 3x – 12x = 10 + 1 – 6

⇔ -6x = 5 ⇔ x = -5/6.

⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-5/6}.

* Một số bài tập phương trình bậc nhất một ẩn luyện tập

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 6x² - 5x +3 = 2x - 3x(3 - 2x)

b) 

c) 

d) (x-4)(x+4) - 2(3x-2) = (x-4)²

e) (x+1)³ - (x-1)³ = 6(x²+x+1)

Đ/S: a) x=-3/2 ; b) x = -5 ; c) x = 17/19 ; d) x = 14; e) x = -2/3

Bài tập 2: Giải các phương trình

a) (4x-3)(2x-1) = (x-3)(4x-3)

b) 25x² - 9 = (5x+3)(2x+1)

c) (3x-4)² - 4(x+1)² = 0

d) x⁴ + 2x³ - 3x² - 8x - 4 = 0

e) (x-2)(x+2)(x²-10) = 72

f) 2x³ + 7x² + 7x +2 = 0

Đ/S: a) S={3/4;-2} ; b) S={-3/5;4/3} ; c) S={2/5;6} ;

d) S={-1;-2;2} ; e) S={-4;4}; f) S={-2;-1;-1/2}

Bài tập 3: Giải các phương trình

a) 

b) 

Đ/S: a) x=-100;  b) x = -15

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

c) 

Đ/S: a) x=-9/2; b) x=-1 ; c) x=0