Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x (dễ hiểu nhất) - Toán 8 chuyên đề

Vậy phương pháp giải dạng toán này như thế nào? Hãy cùng Hay Học Hỏi tìm hiểu lý thuyết và áp dụng vào các bài tập vận dụng có lời giải chi tiết dưới đây để rèn luyện kỹ năng giải toán thật tốt nhé!

I. Phương Pháp Chứng Minh Biểu Thức Không Phụ Thuộc Vào Biến

Hiểu một cách đơn giản: Chứng minh giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào biến (như $x, y$) nghĩa là sau khi chúng ta thực hiện các bước rút gọn đại số, biểu thức đó sẽ mất hoàn toàn các biến và chỉ còn lại một hằng số cụ thể.

Để giải bài toán này, các em thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Thực hiện các phép tính đại số để phá ngoặc, bao gồm: nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, hoặc khai triển các hằng đẳng thức đáng nhớ.

• Bước 2: Nhóm các đơn thức đồng dạng (các hạng tử có cùng phần biến) lại với nhau.

• Bước 3: Thực hiện thu gọn các hạng tử đồng dạng. Kết quả thu gọn của các phần chứa biến sẽ bằng $0$, và biểu thức chỉ còn lại một số thực.

• Bước 4: Kết luận biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

II. Bài Tập Vận Dụng Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$

a) $A = x(2x + 1) - x^2(x + 2) + (x^3 - x + 10)$

b) $B = x(3x^2 - x + 5) - (2x^3 + 3x - 16) - x(x^2 - x + 2)$

Lời giải:

a) Ta có biểu thức $A$:

$A = x(2x + 1) - x^2(x + 2) + (x^3 - x + 10)$

$A = 2x^2 + x - x^3 - 2x^2 + x^3 - x + 10$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$A = (x^3 - x^3) + (2x^2 - 2x^2) + (x - x) + 10$

$A = 0 + 0 + 0 + 10$

$A = 10$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ luôn bằng $10$, không phụ thuộc vào biến $x$.

b) Ta có biểu thức $B$:

$B = x(3x^2 - x + 5) - (2x^3 + 3x - 16) - x(x^2 - x + 2)$

$B = 3x^3 - x^2 + 5x - 2x^3 - 3x + 16 - x^3 + x^2 - 2x$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$B = (3x^3 - 2x^3 - x^3) + (x^2 - x^2) + (5x - 3x - 2x) + 16$

$B = 0 + 0 + 0 + 16$

$B = 16$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ luôn bằng $16$, không phụ thuộc vào biến $x$.

Bài tập 2: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến $x$

a) $C = (x^2 - x)(x + 1) - (x^2 + x)(x - 1)$

b) $D = x^2(x - 2) - x(x^2 + x + 1) + x(3x + 1)$

Lời giải:

a) Ta có biểu thức $C$:

$C = (x^2 - x)(x + 1) - (x^2 + x)(x - 1)$

$C = x^2(x + 1) - x(x + 1) - [x^2(x - 1) + x(x - 1)]$

$C = (x^3 + x^2) - (x^2 + x) - [(x^3 - x^2) + (x^2 - x)]$

$C = x^3 + x^2 - x^2 - x - x^3 + x^2 - x^2 + x$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$C = (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2 + x^2 - x^2) + (x - x)$

$C = 0 + 0 + 0$

$C = 0$

Vậy giá trị của biểu thức $C$ luôn bằng $0$, không phụ thuộc vào biến $x$.

b) Ta có biểu thức $D$:

$D = x^2(x - 2) - x(x^2 + x + 1) + x(3x + 1)$

$D = x^3 - 2x^2 - x^3 - x^2 - x + 3x^2 + x$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$D = (x^3 - x^3) + (3x^2 - 2x^2 - x^2) + (x - x)$

$D = 0 + 0 + 0$

$D = 0$

Vậy giá trị của biểu thức $D$ luôn bằng $0$, không phụ thuộc vào biến $x$.

Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của $x$ và $y$

$A = (x - 2y)(x + 2y) + (2y - x)(2y + x) + 2022$

Lời giải:

Ta có biểu thức $A$:

$A = (x - 2y)(x + 2y) + (2y - x)(2y + x) + 2022$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, ta phá nhanh các ngoặc:

$A = [x^2 - (2y)^2] + [(2y)^2 - x^2] + 2022$

$A = x^2 - 4y^2 + 4y^2 - x^2 + 2022$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$A = (x^2 - x^2) + (4y^2 - 4y^2) + 2022$

$A = 0 + 0 + 2022$

$A = 2022$

Trình bày dưới dạng hằng số, vậy giá trị của biểu thức $A$ luôn bằng $2022$, hoàn toàn không phụ thuộc vào biến $x$ và $y$.

Bài tập 4: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x, y$

$B = (2x - y^2)(2x + y^2) + (y^2 + 3)(y^2 - 3) - 4x^2$

Lời giải:

Ta có biểu thức $B$:

$B = (2x - y^2)(2x + y^2) + (y^2 + 3)(y^2 - 3) - 4x^2$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để thu gọn:

$B = [(2x)^2 - (y^2)^2] + [(y^2)^2 - 3^2] - 4x^2$

$B = 4x^2 - y^4 + y^4 - 9 - 4x^2$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$B = (4x^2 - 4x^2) + (y^4 - y^4) - 9$

$B = 0 + 0 - 9$

$B = -9$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ luôn bằng $-9$, không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ và $y$.

Bài tập 5: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến $x$

$A = (2x - 4)(1 - x^2) + x(2x^2 - 2 - 4x)$

Lời giải:

Ta có biểu thức $A$:

$A = (2x - 4)(1 - x^2) + x(2x^2 - 2 - 4x)$

Thực hiện nhân đa thức với đa thức và đơn thức với đa thức:

$A = 2x(1 - x^2) - 4(1 - x^2) + (2x^3 - 2x - 4x^2)$

$A = 2x - 2x^3 - 4 + 4x^2 + 2x^3 - 2x - 4x^2$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$A = (2x^3 - 2x^3) + (4x^2 - 4x^2) + (2x - 2x) - 4$

$A = 0 + 0 + 0 - 4$

$A = -4$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ luôn bằng $-4$, không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$.

III. Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao (Chuyên Đề Toán 8)

Để rèn luyện kỹ năng tính toán và ghi nhớ sâu phương pháp giải, các em hãy tự thực hành với các bài tập tự luyện nâng cao dưới đây:

Bài tập 6: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến $x$

a) $A = 4x^4 - (2x^2 - 5)(2x^2 + 5) + 10$

b) $B = x(x^2 + x + 1) - x^2(x + 1) - (x - 5)$

Bài tập 7: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến $x$ và $y$

a) $A = 2x^3 - 2y^3 + (y - x)(2x^2 + 2y^2) + 2xy(y - x) + 5$

b) $B = x^2(xy - y - x) - x^2y(x - 1) + (x - 1)(x^2 + x + 1) + 9$

(Gợi ý bài 7b: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để thu gọn cụm $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$).