Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x - Toán 8 chuyên đề

Bài viết dưới đây chúng ta cùng tìm hiểu cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, qua đó giải một số bài tập vận dụng để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hiểu đơn giản: Bài toán chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, nghĩa là sau khi rút gọn biểu thức này thì biểu thức không chứa biến x.

I. Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến

Để chứng minh giá trị một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:

 - Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức (nếu có)

 - Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.

II. Bài tập vận dụng chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

* Bài tập 1: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a) A = x(2x+1) - x²(x + 2) + (x³ - x+ 10)

b) B = x(3x² - x + 5) - (2x³ + 3x - 16) - x(x² - x + 2)

* Lời giải:

a) A = x(2x+1) - x²(x + 2) + (x³ - x + 10)

 = 2x² + x - x³ - 2x² + x³ - x + 10

 = (x³ - x³) + (2x² - 2x² + (x - x) + 10

 = 0 + 0 + 0 +10

 = 10

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) B = x(3x² - x + 5) - (2x³ + 3x - 25) - x(x² - x + 2)

 = 3x³ - x² + 5x - 2x³ - 3x + 25 - x³ + x² - 2x

 = (3x³ - 2x³ - x³) + (x² - x²) + (5x -  3x - 2x) + 25

 = 0 + 0 + 0 + 25

 = 25

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

* Bài tập 2: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến x

a) C = (x² - x).(x + 1) - (x² + x).(x - 1)

b) D = x²(x - 2) - x(x² + x + 1) + x(3x + 1)

* Lời giải:

a) C = (x² - x).(x + 1) - (x² + x).(x - 1)

 = (x² - x).(x + 1) - (x² + x).(x - 1)

 = x²(x + 1) - x.(x + 1) - x²(x - 1) - x(x - 1)

 = x³ + x² - x² - x - x³ + x² - x² + x

 = (x³ - x³) + (x² - x² + x² - x²) + (x - x)

 = 0 + 0 + 0 = 0

Vậy giá trị của biểu thức C = 0 không phụ thuộc vào biến x

b) D = x²(x - 2) - x(x² + x + 1) + x(3x + 1)

 = x².x - x².2 - x.x² - x.x - x.1 + x.3x + x.1

 = x³ - 2x² - x³ - x² - x + 3x² + x

 = (x³ - x³) + (3x² - 2x² - x²) + (x - x)

 = 0 + 0 + 0 = 0

Vậy giá trị của biểu thức D = 0 không phụ thuộc vào biến x.

* Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y

A = (x - 2y)(x + 2y) + (2y - x)(2y + x) + 2022

* Lời giải:

Ta có: A = (x - 2y)(x + 2y) + (2y - x)(2y + x) + 2022

 = x(x + 2y) - 2y(x + 2y) + 2y(2y + x) - x(2y + x) + 2022

 = x² + 2xy - 2xy - 4y² + 4y² + 2xy - 2xy - x² + 2022

 = (x² - x²) + (4y² - 4y²) + (2xy - 2xy + 2xy - 2xy) + 2022

 = 0 + 0 + 0 + 2022

 = 2022

Vậy giá trị của biểu thức A = 2022 và không phụ thuộc vào biến x và y.

* Bài tập 4: Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.

B = (2x - y²)(2x + y²) + (y² + 3)(y² - 3) - 4x²

* Lời giải:

Ta có: B = (2x - y²)(2x + y²) + (y² + 3).(y² - 3) - 4x²

 = 2x(2x + y²) - y²(2x + y²) + y²(y² - 3) + 3(y² - 3) - 4x²

 = 4x² + 2xy² - 2xy² - y⁴ + y⁴ - 3y² + 3y² - 9 - 4x²

 =(4x² - 4x²) + (2xy² - 2xy²) + (y⁴ - y⁴) + (3y² - 3y²) - 9

 = 0 + 0 + 0 + 0 - 9

 = -9

Vậy giá trị của biểu thức B = -9 và không phụ thuộc vào biến x và y.

* Bài tập 5: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.

A = (2x - 4).(1 - x²) + x(2x² - 2 - 4x)

* Lời giải:

Ta có: A = (2x - 4).(1 - x²) + x(2x² - 2 - 4x)

 = 2x(1 - x²) - 4(1 - x²) + 2x³ - 2x - 4x²

 = 2x - 2x³ - 4 + 4x² + 2x³ - 2x - 4x²

 = (2x³ - 2x³) + (4x² - 4x²) + (2x - 2x) - 4

 = 0 + 0 + 0 - 4

 = -4

Vậy giá trị của biểu thức A = -4 không phụ thuộc giá trị biến x.