Phương trình chứa dấu Giá trị tuyệt đối và cách giải (cực hay) Toán 8

Bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức cần nhớ, phân loại 5 dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cốt lõi cùng phương pháp giải chi tiết, mạch lạc giúp các em học sinh làm chủ dạng toán này.

I. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối

Với số thực $a$, giá trị tuyệt đối của $a$ (ký hiệu là $|a|$) được định nghĩa như sau:

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

• Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất đối với $x$ là biểu thức có dạng $f(x) = ax + b$, trong đó $a$ và $b$ là các số cho trước và $a \neq 0$. Nghiệm của nhị thức là giá trị $x_0 = -\frac{b}{a}$ thỏa mãn $f(x_0) = 0$.

• Quy tắc xét dấu: Nhị thức bậc nhất $f(x) = ax + b$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x > x_0$ và trái dấu với hệ số $a$ khi $x < x_0$. Mẹo nhớ nhanh: "Phải cùng, Trái khác" (Bên phải nghiệm cùng dấu với $a$, bên trái nghiệm trái dấu với $a$).

Trường hợp hệ số $a > 0$:

Ta có $f(x) > 0$ với mọi $x > x_0$ và $f(x) < 0$ với mọi $x < x_0$ theo bảng xét dấu sau:

Trường hợp hệ số $a < 0$:

Ta có $f(x) < 0$ với mọi $x > x_0$ và $f(x) > 0$ với mọi $x < x_0$ theo bảng xét dấu sau:

II. Các Dạng Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Dạng 1: Phương trình dạng $|P(x)| = k$

(Trong đó $P(x)$ là một biểu thức chứa ẩn $x$, $k$ là một số cho trước).

Phương pháp giải:

• Nếu $k < 0$: Phương trình vô nghiệm vì giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

• Nếu $k = 0$: Phương trình tương đương với $P(x) = 0$.

• Nếu $k > 0$: Ta chia làm hai trường hợp độc lập để giải:

  • Trường hợp 1: $P(x) = k$

  • Trường hợp 2: $P(x) = -k$

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $2|2x - 3| = \frac{5}{2}$

b) $\frac{3}{2} - \left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{5}{4}$

Lời giải:

a) $2|2x - 3| = \frac{5}{2}$

$|2x - 3| = \frac{5}{4}$

• Trường hợp 1:

  $2x - 3 = \frac{5}{4}$

  $2x = \frac{5}{4} + 3$

  $2x = \frac{17}{4}$

  $x = \frac{17}{8}$

• Trường hợp 2:

  $2x - 3 = -\frac{5}{4}$

  $2x = -\frac{5}{4} + 3$

  $2x = \frac{7}{4}$

  $x = \frac{7}{8}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = \frac{17}{8}$ và $x = \frac{7}{8}$.

b) $\frac{3}{2} - \left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{5}{4}$

$\left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{3}{2} - \frac{5}{4}$

$\left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{1}{4}$

• Trường hợp 1:

  $2x - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$

  $2x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$

  $2x = 2$

  $x = 1$

• Trường hợp 2:

  $2x - \frac{7}{4} = -\frac{1}{4}$

  $2x = -\frac{1}{4} + \frac{7}{4}$

  $2x = \frac{3}{2}$

  $x = \frac{3}{4}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 1$ hoặc $x = \frac{3}{4}$.

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số $m$ phương trình: $|2 - 3x| = 2m - 6 \quad (*)$

Lời giải:

• Trường hợp m < 3: Khi đó $2m - 6 < 0$, vế phải là số âm nên phương trình $(*)$ vô nghiệm.

• Trường hợp m = 3: Khi đó $2m - 6 = 0$, phương trình $(*)$ trở thành:

  $|2 - 3x| = 0$

  $2 - 3x = 0$

  $3x = 2$

  $x = \frac{2}{3}$

  Phương trình có nghiệm duy nhất là $x = \frac{2}{3}$.

• Trường hợp m > 3: Khi đó $2m - 6 > 0$, phương trình $(*)$ được tách thành hai nhánh giải:

  Nhánh 1: $2 - 3x = 2m - 6 \Rightarrow 3x = 8 - 2m \Rightarrow x = \frac{8-2m}{3}$

  Nhánh 2: $2 - 3x = -(2m - 6) \Rightarrow 2 - 3x = -2m + 6 \Rightarrow 3x = 2m - 4 \Rightarrow x = \frac{2m-4}{3}$

Kết luận biện luận:

• Với $m < 3$: Phương trình vô nghiệm.

• Với $m = 3$: Phương trình có một nghiệm duy nhất $x = \frac{2}{3}$.

• Với $m > 3$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = \frac{8-2m}{3}$ và $x = \frac{2m-4}{3}$.

Dạng 2: Phương trình dạng $|P(x)| = |Q(x)|$

Phương pháp giải: Áp dụng tính chất đẳng thức giá trị tuyệt đối $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ hoặc $a = -b$. Ta chia phương trình thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: $P(x) = Q(x)$

• Trường hợp 2: $P(x) = -Q(x)$

Ví dụ: Tìm giá trị $x$ biết:

a) $|5x - 4| = |x + 4|$

b) $|7x - 1| - |5x + 1| = 0$

Lời giải:

a) $|5x - 4| = |x + 4|`

• Trường hợp 1:

  $5x - 4 = x + 4$

  $4x = 8$

  $x = 2$

• Trường hợp 2:

  $5x - 4 = -(x + 4)$

  $5x - 4 = -x - 4$

  $6x = 0$

  $x = 0$

  Vậy giá trị $x$ thỏa mãn bài toán là $x = 2$ và $x = 0$.

b) $|7x - 1| - |5x + 1| = 0$

$|7x - 1| = |5x + 1|$

• Trường hợp 1:

  $7x - 1 = 5x + 1$

  $2x = 2$

  $x = 1$

• Trường hợp 2:

  $7x - 1 = -(5x + 1)$

  $7x - 1 = -5x - 1$

  $12x = 0$

  $x = 0$

  Vậy giá trị $x$ thỏa mãn bài toán là $x = 1$ và $x = 0$.

Dạng 3: Phương trình dạng $|P(x)| = Q(x)$

Phương pháp giải: Học sinh có thể lựa chọn áp dụng một trong hai cách giải sau:

• Cách giải 1 (Chia khoảng biến x): Xét hai khoảng giá trị của biến ẩn dựa trên biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối:

  • Khoảng 1: Khi $P(x) \geq 0 \Rightarrow$ Phương trình trở thành $P(x) = Q(x)$.

  • Khoảng 2: Khi $P(x) < 0 \Rightarrow$ Phương trình trở thành $-P(x) = Q(x)$.

• Cách giải 2 (Đặt điều kiện vế phải): Đặt điều kiện cho vế không chứa trị tuyệt đối không âm: $Q(x) \geq 0$. Khi đó phương trình phân thành hai nhánh giải: $P(x) = Q(x)$ hoặc $P(x) = -Q(x)$. Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $|2x| = x - 6$

b) $|-3x| = x - 8$

c) $|4x| = 2x + 12$

d) $|-5x| - 16 = 3x$

Lời giải:

a) $|2x| = x - 6 \quad (1)$

• Áp dụng cách giải 1:

  Nếu $x \geq 0$ thì $|2x| = 2x$. Phương trình (1) trở thành: $2x = x - 6 \Rightarrow x = -6$ (Loại vì vi phạm điều kiện $x \geq 0$).

  Nếu $x < 0$ thì $|2x| = -2x$. Phương trình (1) trở thành: $-2x = x - 6 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$ (Loại vì vi phạm điều kiện $x < 0$).

  Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

• Áp dụng cách giải 2:

  Điều kiện vế phải không âm: $x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 6$.

  Nhánh 1: $2x = x - 6 \Rightarrow x = -6$ (Không thỏa mãn điều kiện $x \geq 6$).

  Nhánh 2: $2x = -(x - 6) \Rightarrow 2x = -x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ (Không thỏa mãn điều kiện $x \geq 6$).

  Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $|-3x| = x - 8 \quad (2)$

Nếu $-3x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$, khi đó $|-3x| = -3x$. Phương trình (2) trở thành: $-3x = x - 8 \Rightarrow -4x = -8 \Rightarrow x = 2$ (Loại vì vi phạm điều kiện $x \leq 0$).

Nếu $-3x < 0 \Rightarrow x > 0$, khi đó $|-3x| = 3x$. Phương trình (2) trở thành: $3x = x - 8 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4$ (Loại vì vi phạm điều kiện $x > 0$).

Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

c) $|4x| = 2x + 12 \quad (3)$

Nếu $x \geq 0$ thì $|4x| = 4x$. Phương trình (3) trở thành: $4x = 2x + 12 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$ (Thỏa mãn điều kiện $x \geq 0$).

Nếu $x < 0$ thì $|4x| = -4x$. Phương trình (3) trở thành: $-4x = 2x + 12 \Rightarrow -6x = 12 \Rightarrow x = -2$ (Thỏa mãn điều kiện $x < 0$).

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 6$ và $x = -2$.

d) $|-5x| - 16 = 3x \quad (4)$

Chuyển vế hằng số: $|-5x| = 3x + 16$.

Nếu $-5x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$, khi đó $|-5x| = -5x$. Phương trình trở thành: $-5x = 3x + 16 \Rightarrow -8x = 16 \Rightarrow x = -2$ (Thỏa mãn điều kiện $x \leq 0$).

Nếu $-5x < 0 \Rightarrow x > 0$, khi đó $|-5x| = 5x$. Phương trình trở thành: $5x = 3x + 16 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$ (Thỏa mãn điều kiện $x > 0$).

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = -2$ và $x = 8$.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $|x - 7| = 2x + 3$

b) $|x + 4| = 2x - 5$

c) $|x + 3| = 3x - 1$

d) $|x - 4| + 3x = 5$

Lời giải:

a) $|x - 7| = 2x + 3 \quad (1)$

Nếu $x \geq 7 \Rightarrow |x - 7| = x - 7$. Phương trình (1) thành: $x - 7 = 2x + 3 \Rightarrow x = -10$ (Loại vì không thỏa mãn $x \geq 7$).

Nếu $x < 7 \Rightarrow |x - 7| = 7 - x$. Phương trình (1) thành: $7 - x = 2x + 3 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ (Thỏa mãn điều kiện $x < 7$).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{4}{3}$.

b) $|x + 4| = 2x - 5 \quad (2)$

Nếu $x \geq -4 \Rightarrow |x + 4| = x + 4$. Phương trình (2) thành: $x + 4 = 2x - 5 \Rightarrow x = 9$ (Thỏa mãn điều kiện $x \geq -4$).

Nếu $x < -4 \Rightarrow |x + 4| = -x - 4$. Phương trình (2) thành: $-x - 4 = 2x - 5 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ (Loại vì không thỏa mãn $x < -4$).

An tâm kết luận, phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 9$.

c) $|x + 3| = 3x - 1 \quad (3)$

Nếu $x \geq -3 \Rightarrow |x + 3| = x + 3$. Phương trình (3) thành: $x + 3 = 3x - 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$ (Thỏa mãn điều kiện $x \geq -3$).

Nếu $x < -3 \Rightarrow |x + 3| = -x - 3$. Phương trình (3) thành: $-x - 3 = 3x - 1 \Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ (Loại vì không thỏa mãn $x < -3$).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$.

d) $|x - 4| + 3x = 5 \quad (4)$

Biến đổi phương trình về dạng: $|x - 4| = 5 - 3x$.

Nếu $x \geq 4 \Rightarrow x - 4 = 5 - 3x \Rightarrow 4x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{4}$ (Loại vì không thỏa mãn $x \geq 4$).

Nếu $x < 4 \Rightarrow 4 - x = 5 - 3x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ (Thỏa mãn điều kiện $x < 4$).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{2}$.

Dạng 4: Phương trình chứa nhiều biểu thức dấu giá trị tuyệt đối $|A(x)| + |B(x)| = C(x)$

Phương pháp giải:

• Tìm nghiệm của các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối để chia trục số thành các khoảng điều kiện.

• Lập bảng xét dấu tổng hợp cho tất cả các cụm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

• Căn cứ vào bảng xét dấu, xét bài toán trên từng khoảng điều kiện độc lập để phá dấu giá trị tuyệt đối và giải. Đối chiếu nghiệm thu được với khoảng điều kiện đang xét.

Ví dụ: Giải phương trình: $|x + 1| + |x - 3| = 2x - 1 \quad (2)$

Lời giải:

Xét nghiệm các cụm trị tuyệt đối: $x = -1$ và $x = 3$. Ta lập bảng xét dấu tổng hợp:

Dựa vào bảng xét dấu, ta tiến hành giải phương trình trên ba khoảng giá trị của biến:

• Khoảng 1: Nếu $x < -1$, phương trình (2) trở thành:

  $(-x - 1) + (-x + 3) = 2x - 1$

  $-2x + 2 = 2x - 1$

  $-4x = -3$

  $x = \frac{3}{4}$ (Không thỏa mãn khoảng điều kiện $x < -1$).

• Khoảng 2: Nếu $-1 \leq x \leq 3$, phương trình (2) trở thành:

  $(x + 1) + (-x + 3) = 2x - 1$

  $4 = 2x - 1$

  $2x = 5$

  $x = \frac{5}{2}$ (Thỏa mãn khoảng điều kiện $-1 \leq x \leq 3$).

• Khoảng 3: Nếu $x > 3$, phương trình (2) trở thành:

  $(x + 1) + (x - 3) = 2x - 1$

  $2x - 2 = 2x - 1$

  $0x = 1$ (Vô lý, phương trình vô nghiệm trên khoảng này).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = \frac{5}{2}$.

Dạng 5: Phương trình đặc biệt dạng $|A(x)| + |B(x)| = |A(x) + B(x)|$

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $|a| + |b| \geq |a + b|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tích của hai biểu thức không âm: $a \cdot b \geq 0$. Từ đó, ta đưa phương trình về dạng xét điều kiện: $A(x) \cdot B(x) \geq 0$.

Ví dụ 1: Giải phương trình: $|x + 5| + |3 - x| = 8$

Lời giải: Nhận thấy vế phải của phương trình có mối liên hệ đặc biệt: $8 = |(x + 5) + (3 - x)|$.

Áp dụng bất đẳng thức $|a| + |b| \geq |a + b|$, ta luôn có: $|x + 5| + |3 - x| \geq |x + 5 + 3 - x| = 8$.

Do đó, phương trình xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi tích hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không âm:

$(x + 5)(3 - x) \geq 0$

Lập bảng xét dấu hạng tử:

Từ bảng xét dấu, ta thấy tích biểu thức không âm khi $x$ nằm trong đoạn từ $-5$ đến $3$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{x \in \mathbb{R} \mid -5 \leq x \leq 3\}$ hoặc viết dưới dạng đoạn là $S = [-5; 3]$.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $|5x + 1| + |3 - 2x| = |4 + 3x|$

Lời giải: Nhận thấy tổng hai đa thức vế trái đúng bằng đa thức vế phải: $(5x + 1) + (3 - 2x) = 4 + 3x$.

Áp dụng tính chất hằng đẳng thức hình học trị tuyệt đối, phương trình tương đương với điều kiện tích không âm:$(5x + 1)(3 - 2x) \geq 0$

- Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có: $(5x + 1)(3 - 2x) ≥ 0$ thì $-\frac{1}{5}\leq x\leq \frac{3}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left[ -\frac{1}{5}; \frac{3}{2} \right]$.

III. Một Số Bài Tập Tự Luyện Về Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Các em hãy ứng dụng các phương pháp giải phù hợp của từng dạng toán trên để thực hiện giải danh sách bài tập ôn luyện dưới đây:

1. $|-4x| = x + 2$

2. $|2 - x| = 2 - 3x$

3. $2x - |6x - 7| = -x + 8$

4. $\frac{|x+2|}{2} - \frac{|x-1|}{3} = \frac{1}{4} + \frac{x+3}{6}$

5. $|x^2 - 2x| = x$

6. $|x^2 + 4x - 5| = x^2 - 1$

7. $\left| \frac{3x-6}{1-2x} \right| = x - 2$

8. $|-2x + 8| = \frac{x^2-6x+8}{x+3}$

9. $\frac{2x^2+7x-4}{|2x+1|} = x + 4$

10. $|2x + 1| = |x - 1|$

11. $|1 + 4x| - |7x - 2| = 0$

12. $|2x^2 + 5x - 10| = 2x^2 + 1$

13. $|x - 2| + |x - 3| = 1$

14. $|2x + 3| - |x| + x - 1 = 0$

15. $|x + 1| - 2|x - 1| = x$

Đáp Số Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện:

• 1) $S = \left\{ -\frac{2}{5}; \frac{2}{3} \right\}$

• 2) $S = \{0\}$

• 3) $S = \emptyset$ (Phương trình vô nghiệm)

• 4) $S = \left\{ \frac{1}{8} \right\}$

• 5) $S = \{0; 1; 3\}$

• 6) $S = \{-3; 1\}$

• 7) $S = \{2\}$

• 8) $S = \left\{ -\frac{4}{3}; 4 \right\}$

• 9) $S = \{-4\}$

• 10) $S = \{-2; 0\}$

• 11) $S = \left\{ \frac{1}{11}; 1 \right\}$

• 12) $S = \left\{ -\frac{9}{4}; 1; \frac{11}{5} \right\}$

• 13) $S = [2; 3]$ (Nghiệm là tập hợp các số thực thuộc đoạn từ 2 đến 3)

• 14) $S = \left\{ -\frac{1}{2} \right\}$

• 15) $S = \left\{ \frac{1}{2}; \frac{3}{2} \right\}$