Cách nhân đơn thức với đa thức: Phát biểu quy tắc, Ví dụ và Bài tập Toán 8

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại lý thuyết, phát biểu quy tắc tổng quát một cách chính xác, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa trực quan cùng hệ thống bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao.

I. Quy Tắc Nhân Đơn Thức Với Đa Thức

1. Phát biểu quy tắc

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau.

2. Công thức tổng quát

Với $A, B, C$ là các đơn thức, ta có hệ thức:

Như vậy, thông qua một bước biến đổi phân phối theo công thức trên, phép toán nhân một đơn thức với một đa thức sẽ được đưa về các phép toán nhân đơn thức với đơn thức quen thuộc.

3. Các tính chất lũy thừa cần nhớ

Trong quá trình thu gọn các đơn thức sau khi nhân, học sinh thường xuyên phải sử dụng các quy tắc tính toán liên quan đến lũy thừa của một số thực. Cụ thể với $m, n \in \mathbb{N}$ và $a \neq 0$:

• Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• Chia hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m : a^n = a^{m-n}$

• Lũy thừa của lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

II. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính nhân đa thức sau: $2x \cdot (x^2 + 4x - 3)$

Lời giải:

Thực hiện nhân phân phối đơn thức với từng số hạng:

$2x \cdot (x^2 + 4x - 3) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 4x - 2x \cdot 3$

$= 2x^3 + 8x^2 - 6x$

Ví dụ 2: Cho biểu thức đại số: $A = x(x - y) + y(x + y) - 5$

a) Thực hiện rút gọn biểu thức $A$.

b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi biết $x = 1$ và $y = 3$.

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức $A$ bằng phương pháp nhân phân phối:

$A = x(x - y) + y(x + y) - 5$

$A = x \cdot x - x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y - 5$

$A = x^2 - xy + xy + y^2 - 5$

$A = x^2 + y^2 - 5$

b) Thay giá trị $x = 1$ và $y = 3$ vào biểu thức $A$ đã thu gọn ở câu a, ta được:

$A = 1^2 + 3^2 - 5$

$A = 1 + 9 - 5$

$A = 10 - 5$

$A = 5$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 1$ và $y = 3$ bằng $5$.

Ví dụ 3: Tìm giá trị của ẩn $x$, biết: $x(8x + 5) - 4x(2x + 1) - 2 = 0$

Lời giải:

Thực hiện nhân đơn thức với đa thức để phá bỏ các dấu ngoặc:

$x \cdot 8x + x \cdot 5 - (4x \cdot 2x + 4x \cdot 1) - 2 = 0$

$8x^2 + 5x - 8x^2 - 4x - 2 = 0$

Nhóm các số hạng đồng dạng để thu gọn vế trái:

$(8x^2 - 8x^2) + (5x - 4x) - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Vậy giá trị ẩn tìm được là $x = 2$.

III. Hệ Thống Bài Tập Nhân Đơn Thức Với Đa Thức

Bài 1: Thực hiện các phép tính nhân sau đây:

a) $x^2 \cdot \left(5x^3 - x - \frac{1}{2}\right)$

b) $(3xy - x^2 + y) \cdot \frac{2}{3}x^2y$

c) $4x \cdot (x^2 - 3x + 1)$

Lời giải chi tiết:

a) $x^2 \cdot \left(5x^3 - x - \frac{1}{2}\right)$

$= x^2 \cdot 5x^3 - x^2 \cdot x - x^2 \cdot \frac{1}{2}$

$= 5x^5 - x^3 - \frac{1}{2}x^2$

b) $(3xy - x^2 + y) \cdot \frac{2}{3}x^2y$

$= 3xy \cdot \frac{2}{3}x^2y - x^2 \cdot \frac{2}{3}x^2y + y \cdot \frac{2}{3}x^2y$

$= 2x^3y^2 - \frac{2}{3}x^4y + \frac{2}{3}x^2y^2$

c) $4x \cdot (x^2 - 3x + 1)$

$= 4x \cdot x^2 - 4x \cdot 3x + 4x \cdot 1$

$= 4x^3 - 12x^2 + 4x$

Bài 2: Thực hiện phép tính nhân, thu gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) $x(x - y) + y(x + y)$ tại giá trị $x = -6$ và $y = 8$.

b) $x(x^2 - y) - x^2(x + y) + y(x^2 - x)$ tại giá trị $x = \frac{1}{2}$ và $y = -100$.

Lời giải chi tiết:

a) Biến đổi và thu gọn đa thức:

$x(x - y) + y(x + y)$

$= x \cdot x - x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y$

$= x^2 - xy + xy + y^2$

$= x^2 + y^2$

Thay giá trị $x = -6$ và $y = 8$ vào đa thức thu gọn, ta được:

$(-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Vậy giá trị biểu thức thu được là 100.

b) Biến đổi và thu gọn đa thức:

$x(x^2 - y) - x^2(x + y) + y(x^2 - x)$

$= x \cdot x^2 - x \cdot y - (x^2 \cdot x + x^2 \cdot y) + y \cdot x^2 - y \cdot x$

$= x^3 - xy - x^3 - x^2y + x^2y - xy$

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

$=(x^3 - x^3) + (x^2y - x^2y) - xy - xy$

$= -2xy$

Thay giá trị $x = \frac{1}{2}$ và $y = -100$ vào đa thức thu gọn, ta được:

$(-2) \cdot \frac{1}{2} \cdot (-100) = 100$

An tâm kết luận, giá trị biểu thức thu được bằng 100.

Bài 3: Tìm giá trị của biến số $x$, biết:

a) $3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30$

b) $x(5 - 2x) + 2x(x - 1) = 15$

Lời giải chi tiết:

a) $3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30$

$3x \cdot 12x - 3x \cdot 4 - (9x \cdot 4x - 9x \cdot 3) = 30$

$36x^2 - 12x - 36x^2 + 27x = 30$

Nhóm các hạng tử đồng dạng vế trái:

$(36x^2 - 36x^2) + (27x - 12x) = 30$

$15x = 30$

$x = 2$

Vậy giá trị ẩn số cần tìm là $x = 2$.

b) $x(5 - 2x) + 2x(x - 1) = 15$

$(x \cdot 5 - x \cdot 2x) + (2x \cdot x - 2x \cdot 1) = 15$

$5x - 2x^2 + 2x^2 - 2x = 15$

Nhóm các hạng tử đồng dạng vế trái:

$(2x^2 - 2x^2) + (5x - 2x) = 15$

$3x = 15$

$x = 5$

Vậy giá trị ẩn số cần tìm là $x = 5$.