Cách nhân đơn thức với đa thức: Phát biểu quy tắc, Ví dụ và Bài tập nhân đơn thức với đa thức - Toán lớp 8

Vậy cách nhân đơn thức với đa thức được thực hiện như thế nào? Quy tắc nhân đơn thức với đa thức ra sao, phát biểu như thế nào? cho ví dụ nhân đơn thức với đa thức và bài tập vận dụng? sẽ được chúng ta sẽ tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

1. Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức

• Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

* Tổng quát: Với A, B, C là các đơn thức, ta có:

 A.(B + C) = A.B + A.C.

Như vậy, ta thấy cách nhân đơn thức với đa thức qua một (hoặc một vài bước biến đổi) như công thức trên sẽ trở thành phép nhân đơn thức với đơn thức.

* Chú ý: Ta thường sử dụng các phép toán liên quan đến lũy thừa sau khi thực hiện phép nhân:

- Với m, n là các số tự nhiên, a ≠ 0, ta có:

 a^m . aⁿ = a^m+n

 a^m : aⁿ = a^m-n

 (a^m)ⁿ = a^m.n

2. Ví dụ thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức

* Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức: 2x.(x² + 4x – 3)

* Lời giải:

 - Ta có: 2x.(x² + 4x – 3) = 2x.x² + 2x.4x – 2x.3 = 2x³ + 8x² – 6x.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = x(x – y) + y(x + y) – 5. 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 1; y =3

* Lời giải:

a) Rút gọn A: (Ta vận dụng cách nhân đơn thức với đa thức)

 A = x(x – y) + y(x + y) – 5 

 A = x.x – x.y + y.x + y.y – 5  

 A = x² – x.y + y.x + y² – 5  

 A = x² + y² – 5  

b) Tính giá trị của A khi x = 1; y =3

Thay x = 1; y = 3 vào biểu thức A đã rút gọn, ta được:

 A = 1² + 3² – 5 = 1 + 9 - 5 = 10 - 5 = 5

Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 1; y = 3 là 5.

* Ví dụ 3: Tìm x biết:

 x(8x + 5) – 4x(2x + 1) – 2 = 0

* Lời giải:

Ta có:

  x(8x + 5) – 4x(2x + 1) – 2 = 0

  x.8x +  x.5 – 4x.2x – 4x. 1 – 2 = 0

  8x² + 5x – 8x² – 4x – 2 = 0

 (8x² – 8x²) + (5x – 4x) – 2 = 0

 x - 2 = 0

 x = 2.

Vậy x = 2.

3. Bài tập nhân đơn thức với đa thức

* Bài 1 trang 5 SGK Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân (nhân đơn thức với đa thức)

* Lời giải:

* Bài 2 trang 5 SGK Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) x(x – y) + y(x + y) tại x = - 6 và y = 8

b) x(x² – y) – x²(x+y) + y(x² – x) tại x=1/2 và y = –100;

* Lời giải:

a) x(x – y) + y(x + y)

= x.x – x.y + y.x + y.y

= x² – xy + xy + y²

= x² + y².

Tại x = –6 ; y = 8, giá trị biểu thức bằng:

 (–6)² + 8² = 36 + 64 = 100.

b) x.(x² – y) – x².(x + y) + y.(x² – x)

= x.x² – x.y – (x².x + x².y) + y.x² – y.x

= x³ – xy – x³ – x²y + x²y – xy

= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – xy – xy

= –2xy

Tại x=1/2 và y = –100, giá trị biểu thức bằng:

 (-2).(1/2).(-100)=100

* Bài 3 trang 5 SGK Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30

b) x(5 – 2x) + 2x(x - 1) = 15

* Lời giải:

a) 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30

3x.12x – 3x.4 – (9x.4x – 9x.3) = 30

36x² – 12x – 36x² + 27x = 30

(36x² – 36x²) + (27x – 12x) = 30

15x = 30

x = 2

Vậy x = 2.

b) x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15

(x.5 – x.2x) + (2x.x – 2x.1) = 15

5x – 2x² + 2x² – 2x = 15

(2x² – 2x²) + (5x – 2x) = 15

3x = 15

x = 5.

Vậy x = 5.