7 hằng đẳng thức đáng nhớ? Ví dụ? Toán 8 bài 3 Cánh Dièu

Bài viết này là tài liệu lý thuyết trọng tâm cho Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ thuộc Chương I, SGK Toán 8 sách Cánh diều, với công thức chi tiết và các ví dụ minh họa dễ hiểu.

A. Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị nhưu nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói  P = Q là một đồng nhất thức hay một hằng đẳng thức

* Ví dụ 1: Đẳng thức 3(x + y) = 3x + 3y là một hằng đẳng thức

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x(xy² + y) – y(x²y + x) = 0.

* Lời giải:

Ta có x(xy² + y) – y(x²y + x) = x . xy² + x . y – y . x²y – y . x

= x²y² + xy – x²y² – xy

= (x²y² – x²y²) + (xy – xy)

= 0 + 0 = 0 (đpcm)

B. 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A – B)² = A² – 2AB + B²

* Ví dụ 1: Tính

a) (2x + y)²;

b) (3 – x)²;

c) (x – 4y)².

* Lời giải:

a) (2x + y)² = (2x)² + 2 . 2x . y + y² = 4x² + 4xy + y²;

b) (3 – x)² = 3² – 2 . 3 . x + x²;

c) (x – 4y)² = x² – 2 . x . 4y + (4y)² = x² – 8xy + 16y².

* Ví dụ 2: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) y² + y + 1/4

b) y² + 49 – 14y.

* Lời giải:

a) y² + y + 1/4 =  y² + 2.y.(1/2) + (1/2)² 

b) y² + 49 – 14y = y² – 2 . 7 . y + 7² = (y – 7)².

* Ví dụ 3: Tính nhanh: 49².

* Lời giải:

Ta có 49² = (50 – 1)2 = 50² – 2 . 50 . 1 + 1²

= 2500 – 100 + 1 = 2400 + 1 = 2401.

2. Hiệu hai bình phương

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

A² – B² = (A – B)(A + B)

* Ví dụ 1:  Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 9x² – 16;

b) 25 – 16y².

* Lời giải:

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4² = (3x + 4)(3x – 4)

b) 25 – 16y² = 5² – (4y)² = (5 + 4y)(5 – 4y)

* Ví dụ 2: Tính nhanh: 48 . 52.

* Lời giải:

Ta có: 48 . 52 = (50 – 2)(50 + 2) = 50² – 2² = 2500 – 4 = 2496.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A – B)² = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

* Ví dụ: Tính:

a) (3 + x)³;

b) (a + 2b)³;

c) (2x – y)³.

* Lời giải:

a) (3 + x)³ = 3³ + 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² + x³ = 27 + 27x + 9x² + x³;

b) (a + 2b)³ = a³ + 3 . a² . 2b + 3 . a . (2b)² + (2b)³

= a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³;

c) (2x – y)³ = 2x³ – 3 . (2x)² . y + 3 . 2x . y² – y³

= 2x³ – 12x²y + 6xy² – y³.

4. Lập phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức A, B tùy ý, ta có:

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²);

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²).

* Ví dụ: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 27x³ + 1;

b) 64 – 8y³.

* Lời giải:

a) 27x³ + 1 = (3x)³ + 1³ = (3x + 1)[(3x)² – 3x . 1 + 1²]

= (3x + 1)(9x² – 3x + 1)

b) 64 – 8y³ = 4³ – (2y)³ = (4 – 2y)[(4)² + 4.2y + (–2y)²]

=  (4 – 2y)(16 + 8y + 4y²)