Cộng trừ phân thức cùng mẫu và khác mẫu, phân thức đối? Ví dụ? Toán 8 bài 2

Làm thế nào để cộng, trừ các phân thức cùng mẫu hay khác mẫu? Phân thức đối là gì? Bài viết này sẽ giúp bạn trả lời những câu hỏi đó một cách chi tiết nhất.

I. Phép cộng phân thức

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

• Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$

* Ví dụ: Thực hiện phép tính: $\frac{x-2y}{x^2+xy}+\frac{x+2y}{x^2+xy}$

* Lời giải:

$\frac{x-2y}{x^2+xy}+\frac{x+2y}{x^2+xy}$ $=\frac{x-2y+x+2y}{x^2+xy}$

$=\frac{(x+x)+(2y-2y)}{x(x+y)}$ $=\frac{2x}{x(x+y)}=\frac{2}{x+y}$

2. Cộng hai phân thức có mẫu khác nhau

• Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

* Ví dụ: Thực hiện phép tính: $\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{xy+y^2}$

* Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{xy+y^2}$ $=\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(x+y)}$

$=\frac{y}{xy(x+y)}+\frac{x}{xy(x+y)}$ $=\frac{x+y}{xy(x+y)}=\frac{1}{xy}$

3. Tính chất của phép cộng phân thức

Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

* Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

$\frac{x^2+y^2-1}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}$

* Lời giải:

$\frac{x^2+y^2-1}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}$

$= \frac{x^2+y^2-1}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x^2+y^2-1+1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}=\frac{x-y+2y}{x+y}$

$=\frac{x+y}{x+y}=1$

II. Phép trừ phân thức

1. Quy tắc trừ hai phân thức

• Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của hân thức bị trù cho tử của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu:

$\frac{A}{M}-\frac{B}{M}=\frac{A-B}{M}$

• Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

* Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{4x+3y}{x^2-y^2}-\frac{3x+4y}{x^2-y^2}$

b) $\frac{2xy-3y^2}{x^2-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$

* Lời giải:

a) $\frac{4x+3y}{x^2-y^2}-\frac{3x+4y}{x^2-y^2}$ $=\frac{(4x+3y)-(3x+4y)}{x^2-y^2}$

$=\frac{4x+3y-3x-4y}{(x-y)(x+y)}$ $=\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}=\frac{1}{x+y}$

b) $\frac{2xy-3y^2}{x^2-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$

$= \frac{y(2x-3y)}{x(x-3y)}-\frac{x}{3(x-3y)}$

$= \frac{3y(2x-3y)}{3x(x-3y)}-\frac{x^2}{3x(x-3y)}$

$=\frac{3y(2x-3y)-x^2}{3x(x-3y)}=\frac{6xy-9y^2-x^2}{3x(x-3y)}$

$=-\frac{x^2-6xy+9y^2}{3x(x-3y)}=-\frac{(x-3y)^2}{3x(x-3y)}$

$=-\frac{x-3y}{3x}=\frac{3y-x}{3x}$

2. Phân thức đối

• Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ kí hiệu là $-\frac{A}{B}$. Ta có 

$\frac{A}{B}+\left ( -\frac{A}{B} \right )=0$

- Ta có: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$

- Phân thức đối của phân $-\frac{A}{B}$ là $\frac{A}{B}$, tức là: $-\left (-\frac{A}{B} \right )=\frac{A}{B}$

- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$, ta có thể cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$, tức là: 

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left ( -\frac{C}{D} \right )$

* Ví dụ: Tính một cách hợp lí: 

$\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^2-9y^2}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

* Lời giải:

Ta có: $\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^2-9y^2}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

$= \frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}+\frac{x+8y}{2x-3y}$

$= \frac{x-5y}{2x-3y}+\frac{x+8y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{x-5y+x+8y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{2x+3y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{(2x+3y)^2}{(2x-3y)(2x+3y)}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{(2x+3y)^2-24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$ $=\frac{4x^2+12xy+9y^2-24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$=\frac{4x^2-12xy+9y^2}{(2x-3y)(2x+3y)}$ $=\frac{(2x-3y)^2}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$=\frac{2x-3y}{2x+3y}$

III. Mẹo giải bài tập tính hợp lí

Khi gặp biểu thức phức tạp có nhiều phân thức, hãy quan sát:

1. Nhóm các phân thức cùng mẫu: Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để cộng/trừ chúng trước.

2. Đổi dấu để tìm mẫu chung: Sử dụng quy tắc $A - B = -(B - A)$ để làm xuất hiện mẫu thức chung, giúp việc quy đồng dễ dàng hơn.

Ví dụ vận dụng: Tính hợp lí biểu thức $\frac{x-5y}{2x-3y} - \frac{24xy}{4x^2-9y^2} - \frac{x+8y}{3y-2x}$

• Hướng dẫn: Đổi dấu $\frac{x+8y}{3y-2x}$ thành $+\frac{x+8y}{2x-3y}$ để cùng mẫu với phân thức đầu tiên, sau đó nhóm lại để rút gọn trước khi quy đồng với phân thức còn lại.