Cộng trừ phân thức cùng mẫu và khác mẫu, phân thức đối? Ví dụ? Toán 8 bài 2 [b2c2cd1]

13:40:1907/11/2023

Lý thuyết Bài 2: Phép cộng, trừ phân thức đại số nằm ở chương 2 SGK Cánh diều Tập 1. Nội dung trọng tâm: Cách cộng trừ phân thức cùng mẫu, khác mẫu.

Cách cộng hai phân thức cùng mẫu và khác mẫu? Quy tắc trừ hai phân thức, phân thức đối như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

I. Phép cộng phân thức

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

• Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\small \frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$

* Ví dụ: Thực hiện phép tính: $\small \frac{x-2y}{x^2+xy}+\frac{x+2y}{x^2+xy}$

* Lời giải:

$\small \frac{x-2y}{x^2+xy}+\frac{x+2y}{x^2+xy}=\frac{x-2y+x+2y}{x^2+xy}$

$\small =\frac{(x+x)+(2y-2y)}{x(x+y)}=\frac{2x}{x(x+y)}=\frac{2}{x+y}$

2. Cộng hai phân thức có mẫu khác nhau

• Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

* Ví dụ: Thực hiện phép tính: $\small \frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{xy+y^2}$

* Lời giải:

Ta có: $\small \frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{xy+y^2}=\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(x+y)}$

$\small =\frac{y}{xy(x+y)}+\frac{x}{xy(x+y)}=\frac{x+y}{xy(x+y)}=\frac{1}{xy}$

3. Tính chất của phép cộng phân thức

Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

* Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

$\small \frac{x^2+y^2-1}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}$

* Lời giải:

$\small \frac{x^2+y^2-1}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}$

$\small = \frac{x^2+y^2-1}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}$

$\small = \frac{x^2+y^2-1+1-2y^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}$

$\small = \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{2y}{x+y}$

$\small = \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}+\frac{2y}{x+y}$

$\small = \frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}=\frac{x-y+2y}{x+y}$

$\small =\frac{x+y}{x+y}=1$

II. Phép trừ phân thức

1. Quy tắc trừ hai phân thức

• Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của hân thức bị trù cho tử của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu:

$\small \frac{A}{M}-\frac{B}{M}=\frac{A-B}{M}$

• Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

* Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) $\small \frac{4x+3y}{x^2-y^2}-\frac{3x+4y}{x^2-y^2}$

b) $\small \frac{2xy-3y^2}{x^2-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$

* Lời giải:

a) $\small \frac{4x+3y}{x^2-y^2}-\frac{3x+4y}{x^2-y^2}$ $\small =\frac{(4x+3y)-(3x+4y)}{x^2-y^2}$

$\small =\frac{4x+3y-3x-4y}{(x-y)(x+y)}=\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}$ $\small =\frac{1}{x+y}$

b) $\small \frac{2xy-3y^2}{x^2-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$ $\small = \frac{y(2x-3y)}{x(x-3y)}-\frac{x}{3(x-3y)}$

$\small = \frac{3y(2x-3y)}{3x(x-3y)}-\frac{x^2}{3x(x-3y)}$

$\small =\frac{3y(2x-3y)-x^2}{3x(x-3y)}=\frac{6xy-9y^2-x^2}{3x(x-3y)}$

$\small =-\frac{x^2-6xy+9y^2}{3x(x-3y)}=-\frac{(x-3y)^2}{3x(x-3y)}$

$\small =-\frac{x-3y}{3x}=\frac{3y-x}{3x}$

2. Phân thức đối

• Phân thức đối của phân thức $\small \frac{A}{B}$ kí hiệu là $\small -\frac{A}{B}$ . Ta có

$\small \frac{A}{B}+\left ( -\frac{A}{B} \right )=0$

- Ta có: $\small -\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$

- Phân thức đối của phân $\small -\frac{A}{B}$ là $\small \frac{A}{B}$ , tức là: $\small -\left (-\frac{A}{B} \right )=\frac{A}{B}$

- Muốn trừ phân thức $\small \frac{A}{B}$ cho phân thức $\small \frac{C}{D}$ , ta có thể cộng $\small \frac{A}{B}$ với phân thức đối của phân thức $\small \frac{C}{D}$ , tức là:

$\small \frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left ( -\frac{C}{D} \right )$

* Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

$\small \frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^2-9y^2}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

* Lời giải:

Ta có: $\small \frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^2-9y^2}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

$\small = \frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}+\frac{x+8y}{2x-3y}$

$\small = \frac{x-5y}{2x-3y}+\frac{x+8y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$\small = \frac{x-5y+x+8y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$\small = \frac{2x+3y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$\small = \frac{(2x+3y)^2}{(2x-3y)(2x+3y)}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$\small = \frac{(2x+3y)^2-24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{4x^2+12xy+9y^2-24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$\small =\frac{4x^2-12xy+9y^2}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{(2x-3y)^2}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$\small =\frac{2x-3y}{2x+3y}$

Với nội dung bài viết về: Cộng trừ phân thức cùng mẫu và khác mẫu, phân thức đối? Ví dụ? Toán 8 bài 2 chi tiết, dễ hiểu ở trên. Hay Học Hỏi hy vọng giúp các em nắm vững nội dung lý thuyết bài 2 chương 2 SGK Toán 8 tập 1 Cánh diều. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để được ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.