Phân thức đại số: Khái niệm, tính chất, ứng dụng của phân thức đại số? Ví dụ? Toán 8 bài 1 [b1c2cd1]

10:58:2807/11/2023

Lý thuyết Bài 1: Phân thức đại số nằm ở chương 2 SGK Cánh diều Tập 1. Nội dung trọng tâm: Khái niệm phân thức đại số, tính chất phân thức đại số và ứng dụng

Khái niệm phân thức đại số? Tính chất cơ bản của phân thức đại số là gì? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

I. Khái niệm về phân thức đại số

1. Định nghĩa phân thức đại số

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\small \frac{P}{Q}$ , trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

* Ví dụ: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

a) $\small \frac{x^2y+xy^2}{x-y}$

b) $\small \frac{x^2-1}{\frac{1}{x}}$

* Lời giải:

a) Vì x²y + xy² và x – y là các đa thức và đa thức x – y khác đa thức 0 nên biểu thức $\small \frac{x^2y+xy^2}{x-y}$ là phân thức.

b) Do biểu thức $\small \frac{1}{x}$ không phải là các đa thức nên biểu thức $\small \frac{x^2-1}{\frac{1}{x}}$ không phải là phân thức.

* Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng là một phân thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\small \frac{A}{B}$ và $\small \frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C, viết là: $\small \frac{A}{B}=\frac{C}{D}$

* Ví dụ: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) $\small \frac{x+y}{x^2-y^2}$ và $\small \frac{1}{x-y}$

b) $\small \frac{x}{x^2-1}$ và $\small \frac{1}{x-1}$

* Lời giải:

a) $\small \frac{x+y}{x^2-y^2}$ và $\small \frac{1}{x-y}$

Ta có: (x + y)(x – y) = x² – y² và (x² – y²) . 1 = x² – y².

Nên (x + y)(x – y) = (x² – y²) . 1.

Vậy $\small \frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{1}{x-y}$

b) $\small \frac{x}{x^2-1}$ và $\small \frac{1}{x-1}$

Ta có: x(x – 1) = x² – x và (x² – 1) . 1 = x² – 1

Vì x(x – 1) ≠ (x² – 1) . 1 nên hai phân thức $\small \frac{x}{x^2-1}$ và $\small \frac{1}{x-1}$ không bằng nhau.

II. Tính chất cơ bản của phân thức

1. Tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\small \frac{P}{Q}=\frac{P.M}{Q.M}$ với M là một đa thức khác đa thức 0.

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\small \frac{P}{Q}=\frac{P:N}{Q:N}$ với N là một nhân tử chung của P và Q.

* Ví dụ:

$\small \frac{2x}{x+3}=\frac{2x.5x}{(x+3).5x}=\frac{10x^2}{5x^2+15x}$

$\small \frac{10x^2}{2x(x-3)}=\frac{10x^2:2x}{2x(x-3):2x}=\frac{5x}{x-3}$

* Chú ý: Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho:

$\small \frac{P}{Q}=\frac{-P}{-Q};\: \: \frac{P}{-Q}=\frac{-P}{Q}$

2. Ứng dụng

a) Rút gọn phân thức

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của của chúng để được phân thức mới (đơn giản hơn) thì cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.

• Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

* Ví dụ: Rút gọn mỗi phân thức sau:

a) $\small \frac{8x^2+4x}{1-4x^2}$

b) $\small \frac{x^3-xy^2}{2x^2+2xy}$

* Lời giải:

a) $\small \frac{8x^2+4x}{1-4x^2}=\frac{4x(2x+1)}{(1-2x)(1+2x)}$

$\small =\frac{4x(2x+1):(2x+1)}{(1-2x)(1+2x):(2x+1)}=\frac{4x}{1-2x}$

b) $\small \frac{x^3-xy^2}{2x^2+2xy}=\frac{x(x^2-y^2)}{2x(x+y)}=\frac{x(x+y)(x-y)}{2x(x+y)}$

$\small =\frac{[x(x+y)(x-y)]:[x(x+y)]}{[2x(x+y)]:[x(x+y)]}=\frac{x-y}{2}$

b) Quy đồng mẫu nhiều phân thức

Khi biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

* Nhận xét:

+ Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

+ Muốn quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm MTC.

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

* Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\small \frac{5}{2x^2y^3}$ và $\small \frac{3}{xy^4}$

b) $\small \frac{4}{2x^2-10x}$ và $\small \frac{2}{x^2-25}$

* Lời giải:

a) $\small \frac{5}{2x^2y^3}$ và $\small \frac{3}{xy^4}$

Ta có MTC: 2x²y⁴.

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\small \frac{5}{2x^2y^3}=\frac{5.y}{2x^2y^3.y}=\frac{5y}{2x^2y^4}$

$\small \frac{3}{xy^4}= \frac{3.2x}{xy^4.2x}= \frac{6x}{2x^2y^4}$

b) $\small \frac{4}{2x^2-10x}$ và $\small \frac{2}{x^2-25}$

$\small \frac{4}{2x^2-10x}=\frac{4}{2x(x-5)}=\frac{2}{x(x-5)}$

x² – 25 = x² – 5² = (x + 5)(x – 5).

⇒ MTC: x(x + 5)(x – 5).

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\small \frac{4}{2x^2-10x}=\frac{2}{x(x-5)}=\frac{2(x+5)}{x(x-5)(x+5)}$

$\small \frac{2}{x^2-25}=\frac{2}{(x+5)(x-5)}=\frac{2x}{x(x+5)(x-5)}$

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

• Điều kiện xác định của phân thức là Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0

• Giá trị của phân thức:

Cho phân thức $\small \frac{P}{Q}$ . Giá trị của biểu thức $\small \frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức $\small \frac{P}{Q}$ tại những giá trị cho trước của các biến đó.

* Ví dụ: Cho phân thức $\small \frac{x+1}{x^2+x}$

a) Viết điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.

b) Tính giá trị của phân thức tại x = 10 và tại x = −1.

* Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\small \frac{x+1}{x^2+x}$ là x² + x ≠ 0.

⇔ x ≠ 0 và x ≠ –1

b) Với x = 10 thoả điều kiện xác định

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 10 là:

$\small \frac{10+1}{10^2+10}=\frac{11}{100+10}=\frac{11}{110}$

Với x = −1, ta thấy không thoả điều kiện xác định

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.

* Nhận xét:

Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.

Với nội dung bài viết về: Phân thức đại số: Khái niệm, tính chất, ứng dụng của phân thức đại số? Ví dụ? Toán 8 bài 1 chi tiết, dễ hiểu ở trên. Hay Học Hỏi hy vọng giúp các em nắm vững nội dung lý thuyết bài 1 chương 2 SGK Toán 8 tập 1 Cánh diều. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để được ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.