Giải bài 3.44 trang 74 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59).

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật.

Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, các em sẽ cần áp dụng một chuỗi các định lý và dấu hiệu nhận biết của các hình học.

• Phần a: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau bằng trường hợp g.c.g (góc-cạnh-góc).

• Phần b: Chứng minh tứ giác $APMN$ là hình chữ nhật. Dấu hiệu nhận biết dễ nhất là chứng minh nó có ba góc vuông. Từ đó, suy ra các cạnh đối bằng nhau và trung điểm.

• Phần c: Chứng minh tứ giác $AMCQ$ là hình thoi. Dấu hiệu nhận biết hiệu quả là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

• Phần d: Chứng minh tứ giác $AMCQ$ là hình vuông. Dấu hiệu nhận biết là hình thoi có một góc vuông hoặc hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.

Theo đề bài, AC ⊥ MP; AC ⊥ AB.

⇒ MP // AB nên MP // BN.

⇒  (hai góc đồng vị).

Ta có P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB

Nên 

• Xét ∆CMP và ∆MBN có:

 (chứng minh trên)

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

 (chứng minh trên)

⇒ ∆CMP = ∆MBN (g-c-g).

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật.

Ta có: 

Tứ giác APMN có:

⇒ Tứ giác APMN là một hình chữ nhật.

⇒ MP = AN; AP = MN (các cặp cạnh tương ứng).

Mà MP = BN; CP = MN (vì ∆CMP = ∆MBN).

⇒ AP = CP; AN = BN.

⇒ N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

c) Chứng minh tứ giác AMCQ là một hình thoi.

Tứ giác AMCQ có:

MP = PQ (vì P là trung điểm của MQ)

AP = CP (vì P là trung điểm của AC)

Khi đó, tứ giác AMCQ có hai đường chéo AC và MQ cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Mà MQ ⊥ AC.

⇒ Tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Tứ giác APMN là một hình chữ nhật nên MP = AN.

Mà P là trung điểm MQ; N là trung điểm của AB.

⇒ MQ = AB.

Lại có AB = AC (giả thiết) nên MQ = AC.

Tứ giác AMCQ có hai đường chéo AC và MQ bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

⇒ Tứ giác AMCQ có là hình vuông.