Giải bài 3.34 trang 73 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP.

a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?

b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

2. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hoặc có hai đường chéo vuông góc với nhau.

4. Dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình thoi có một góc vuông hoặc hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Tứ giác AMCP có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường.

⇒ Tứ giác AMCP là hình bình hành.

b) Do AMCP là hình bình hành nên ta có:

 AM // CP hay BM // CP.

 AM = CP, mà AM = BM (do M là trung điểm của AB) nên BM = CP.

Tứ giác BMPC có BM // CP và BM = CP

⇒ Tứ giác BMPC là hình bình hành.

• Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì AC = MP.

Mà BC = MP (vì tứ giác BMCP là hình bình hành).

⇒ AC = BC nên ΔABC là tam giác cân tại C.

Vậy để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì tam giác ABC là tam giác cân tại C.

• Để hình bình hành AMCP là hình thoi thì AM = CM hay AM = CM = BM = AB/2

Xét ΔABC có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC.

Mà AM = CM = BM = AB/2.

Khi đó ΔABC vuông tại C.

Vậy để hình bình hành AMCP là hình thoi thì ΔABC vuông tại C.

• Để hình bình hành AMCP là hình vuông thì hình bình hành AMCP là hình chữ nhật có AM = CM.

⇒ ΔABC cân tại C có AM = CM.

Khi đó, ΔABC vuông cân tại C.

Vậy để hình bình hành AMCP là hình vuông thì ΔABC vuông cân tại C.