Giải bài 3.30 trang 72 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

2. Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hoặc có một đường chéo là phân giác của một góc.

3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông.

4. Dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau hoặc có một đường chéo là phân giác của một góc.

Chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các kiến thức này để giải từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Tứ giác AEDF có AE // DF; AF // DE (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Mà tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến

⇒ D là trung điểm của BC.

Ngược lại, nếu D là trung điểm của cạnh BC của ΔABC cân tại A thì hình bình hành AEDF có đường chéo AD là đường phân giác của góc A nên AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).

d) Tam giác ABC vuông cân tại A tức là vừa vuông tại A vừa cân tại A.

Theo câu c) nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì tức nó cũng là hình thoi.

Theo câu b) AEDF là hình thoi nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu ΔABC vuông cân tại A thì để AEDF là hình vuông thì điểm D là trung điểm của BC.