Bài 6.13 trang 16 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.13 trang 16 Toán 10 KNTT:

Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật được rào theo chiều rộng x (mét) của nó. 

b) Tính kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Chu vi và Kích thước: $40 \text{ m}$ lưới thép chính là chu vi ($C$) của mảnh vườn. Nửa chu vi là $C/2 = 20 \text{ m}$.

2. Lập hàm Diện tích $S(x)$: Gọi chiều rộng là $x$, chiều dài là $20 - x$. Diện tích $S(x) = x \cdot (20 - x)$.

3. Tìm GTLN (Giá trị lớn nhất): Hàm số $S(x)$ là hàm bậc hai $S(x) = ax^2 + bx + c$. Giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh Parabol, với hoành độ đỉnh $x_I = -\frac{b}{2a}$.

Điều kiện của $x$: Chiều rộng và chiều dài phải dương, nên $x > 0$ và $20 - x > 0 \implies 0 < x < 20$.

Lời giải chi tiết 6.13 trang 16 Toán 10:

a) Bác Hùng dùng lưới để rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng x (mét) như sau: 

Vì tấm lưới dài 40 m, hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD là 40 m. 

Nên nửa chu vi của mảnh vườn là 40 : 2 = 20 m. 

Vì vậy, chiều dài của mảnh vườn rào được theo chiều rộng x (mét) là: 20 – x (m). 

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) là: 

S(x) = x . (20 – x) = –x² + 20x   (m²). 

b) Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật bác Hùng có thể rào được, ta tính giá trị lớn nhất của hàm số S(x), đây là hàm số bậc hai. 

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai S(x) = –x²+ 20x là I(10; 100). 

Vì vậy, giá trị lớn nhất của hàm số S(x) là S =100 tại x = 10. 

Suy ra chiều dài khi chiều rộng x = 10 m là 20 – 10 = 10 (m). 

Vậy để mảnh vườn rào được có diện tích lớn nhất thì bác Hùng nên rào lưới thép gai thành hình vuông có độ dài cạnh là 10 m.