Bài 6.9 trang 16 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.9 trang 16 Toán 10 KNTT:

Xác định parabol y = ax² + bx + 1, trong mỗi trường hợp sau: 

a) Đi qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 4); 

b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x = 1; 

c) Có đỉnh I(1; 2);

d) Đi qua điểm C(– 1; 1) và có tung độ đỉnh bằng – 0,25. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng các công thức liên quan đến parabol $y = ax^2 + bx + 1$ ($a \ne 0$):

• Đi qua điểm $(x_0; y_0)$: $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + 1$.

• Trục đối xứng: $x = -\frac{b}{2a}$.

• Đỉnh $I(x_I; y_I)$: $x_I = -\frac{b}{2a}$ VÀ $y_I = f(x_I)$.

Mỗi điều kiện sẽ cho ta một phương trình tuyến tính theo $a$ và $b$.

Lời giải chi tiết bài 6.9 trang 16 Toán 10:

* Điều kiện: a ≠ 0. 

a) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, nên ta có:

0 = a . 1² + b . 1 + 1 

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (1). 

Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên ta có tọa độ điểm B thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, nên ta có:

4 = a . 2² + b . 2 + 1 

⇔ 4a + 2b = 3   (2). 

Thay (1) vào (2) ta có:

4 . (– 1 – b) + 2b = 3 

⇔ – 2b = 7 

⇔ b = –7/2

Suy ra: a = –1 – (–7/2) = –5/2

Vậy ta có parabol: 

b) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên ta có tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, nên ta có:

0 = a . 1² + b . 1 + 1 

⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b    (1). 

Parabol y = ax² + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên

  (2).

Thay (1) vào (2) ta có:

2 . (–1 – b) = –b ⇔ b = –2. 

Suy ra: a = –1 – (–2) = 1. 

Vậy ta có parabol: y = x² – 2x + 1. 

c) Parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; 2). 

Nên có:  

Và 2 = a . 1² + b . 1 + 1 

⇔ a + b = 1 

⇔ a = 1 – b. 

Suy ra: 2 . (1 – b) = –b 

⇔ b = 2.

Khi đó: a = 1 – 2 = –1.

Vậy ta có parabol: y = – x² + 2x + 1. 

d) Parabol y = ax² + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên ta có tọa độ điểm C thỏa mãn hàm số y = ax² + bx + 1, do đó: 1 = a . (– 1)² + b . (– 1) + 1 

⇔ a – b = 0 ⇔ a = b. 

Ta có: ∆ = b² – 4ac =  a² – 4 . a . 1 = a² – 4a. 

Tung độ đỉnh bằng –0,25 nên 

  (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5. 

Vì vậy: a = b = 5. 

Vậy ta có parabol: y = 5x² + 5x + 1.