Bài 8.6 trang 70 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán sắp xếp tranh

Bài 8.6 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định bản chất của việc sắp xếp các đối tượng:

1. Đối tượng: 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau.

2. Yêu cầu: Sắp xếp tất cả 10 bức tranh này vào 10 vị trí theo một hàng ngang.

3. Kiến thức áp dụng: Khi chúng ta sắp xếp $n$ phần tử khác nhau vào $n$ vị trí, mỗi cách sắp xếp đó được gọi là một hoán vị.

Giải bài 8.6 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử.

Theo công thức tính số hoán vị của $n$ phần tử:

Áp dụng vào bài toán với $n = 10$, ta có số cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh là:

Kết luận: Vậy họa sĩ có 3.628.800 cách để sắp xếp 10 bức tranh.

Tổng kết kiến thức

• Hoán vị: Là sự thay đổi vị trí của các phần tử trong một tập hợp.

• Giai thừa ($n!$): Là tích của $n$ số nguyên dương đầu tiên. Giá trị của giai thừa tăng rất nhanh khi $n$ lớn dần, điều này giải thích tại sao chỉ với 10 bức tranh mà chúng ta đã có tới hơn 3,6 triệu cách sắp xếp.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn với chỉnh hợp/tổ hợp: Đôi khi học sinh phân vân không biết dùng $P_n, A_n^k$ hay $C_n^k$. Hãy nhớ: Nếu dùng tất cả phần tử hiện có và có thứ tự, đó là hoán vị.

• Lỗi tính toán: Việc nhân thủ công từ 1 đến 10 rất dễ sai sót.

• Quên đơn vị: Luôn nhớ ghi đơn vị là "cách" hoặc "cách sắp xếp" sau kết quả cuối cùng.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán trắc nghiệm:

1. Sử dụng máy tính Casio: Bạn chỉ cần bấm số 10 sau đó nhấn phím SHIFT + x⁻¹ (ký hiệu $x!$) và nhấn bằng. Kết quả sẽ hiện ra ngay lập tức.

2. Nhận diện dấu hiệu: Cứ thấy các từ khóa như "xếp hàng ngang", "xếp vào hàng ghế", "thứ tự các cuốn sách trên kệ" mà dùng hết số lượng phần tử thì 100% là bài toán hoán vị.