Bài 8.5 trang 65 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán thiết lập mật khẩu máy tính

Bài 8.5 trang 65 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau? 

Phân tích bài toán

Bài toán này yêu cầu chúng ta tính toán số khả năng dựa trên các ràng buộc về ký tự. Đây là ứng dụng điển hình của quy tắc nhân trong toán học tổ hợp:

1. Quy tắc nhân: Khi một hành động được chia thành nhiều công đoạn liên tiếp, tổng số cách thực hiện là tích số cách của từng công đoạn.

2. Ký tự chữ số: Gồm 10 lựa chọn (từ 0 đến 9).

3. Ký tự chữ cái in hoa: Gồm 26 lựa chọn (từ A đến Z).

4. Lưu ý: Trong mật khẩu, các ký tự có thể giống nhau trừ khi đề bài yêu cầu "khác nhau".

Giải bài 8.5 trang 65 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính số mật khẩu theo quy định cũ

Theo quy định cũ, mật khẩu gồm 3 ký tự đều là chữ số. Để lập một mật khẩu, ta thực hiện ba công đoạn liên tiếp:

• Chọn ký tự thứ nhất: Có 10 cách chọn (từ tập $\{0, 1, 2, ..., 9\}$).

• Chọn ký tự thứ hai: Có 10 cách chọn (do các chữ số có thể trùng nhau).

• Chọn ký tự thứ ba: Có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, tổng số mật khẩu có thể tạo được là:

b) Tính số mật khẩu theo quy định mới

Theo quy định mới, cấu trúc mật khẩu thay đổi (1 chữ cái + 2 chữ số). Ta thực hiện ba công đoạn:

• Chọn ký tự thứ nhất (Chữ cái in hoa): Có 26 cách chọn (từ A đến Z).

• Chọn ký tự thứ hai (Chữ số): Có 10 cách chọn.

• Chọn ký tự thứ ba (Chữ số): Có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, tổng số mật khẩu mới có thể tạo được là:

So sánh giữa hai quy định:

Số mật khẩu quy định mới tạo được nhiều hơn quy định cũ là:

Kết luận: Quy định mới tạo được nhiều hơn 1.600 mật khẩu khác nhau.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc nhân: Luôn sử dụng khi các lựa chọn được thực hiện theo trình tự "Ký tự 1 VÀ Ký tự 2 VÀ Ký tự 3".

• Sự khác biệt về tập hợp: Việc mở rộng tập hợp ký tự từ 10 chữ số lên 26 chữ cái ở vị trí đầu tiên đã giúp tăng đáng kể độ bảo mật (số lượng mật khẩu).

• Tính lặp: Trong mật khẩu máy tính, nếu không có yêu cầu "khác nhau", ta mặc định các vị trí có thể chọn trùng ký tự đã dùng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn số lượng chữ số: Nhiều bạn đếm từ 1 đến 9 dẫn đến chỉ có 9 chữ số. Hãy nhớ tập hợp chữ số luôn có 10 phần tử (tính cả số 0).

• Áp dụng nhầm quy tắc cộng: Tính $26 + 10 + 10 = 46$. Hãy nhớ rằng một mật khẩu chỉ hoàn thành khi có đủ cả 3 ký tự, nên phải dùng phép nhân.

• Không đọc kỹ yêu cầu so sánh: Giải ra 2.600 mật khẩu nhưng quên mất bước trừ đi 1.000 để trả lời câu hỏi "nhiều hơn bao nhiêu".

Mẹo giải nhanh

Để giải nhanh các bài toán dạng mật khẩu/mã số:

1. Xác định số "ô trống": Vẽ ra các ô trống tương ứng với số ký tự (ví dụ: [ ] [ ] [ ]).

2. Điền số cách chọn: Ghi số lượng lựa chọn vào từng ô.

   • Quy định cũ: [10] [10] [10] $\rightarrow$ Nhân lại.

   • Quy định mới: [26] [10] [10] $\rightarrow$ Nhân lại.

3. Quy tắc lũy thừa: Nếu các vị trí có số cách chọn giống nhau ($n$), số mật khẩu là $n^k$.