Bài 8.10 trang 71 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán chọn đội thi đấu cờ vua

Bài 8.10 trang 71 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Phân tích bài toán

Trong bài toán này, việc chọn các bạn đi thi đấu không phân biệt thứ tự (bạn A được chọn trước hay bạn B được chọn trước thì đội hình vẫn là một). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tổ hợp.

• Câu a: Chọn trong nhóm riêng biệt (chỉ nam).

• Câu b: Chọn trong tổng số thành viên của câu lạc bộ.

• Câu c: Chia làm hai công đoạn liên tiếp và áp dụng quy tắc nhân.

Giải bài 8.10 trang 71 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

Để chọn 4 bạn nam, huấn luyện viên sẽ chọn từ danh sách 10 bạn nam của câu lạc bộ.

Mỗi cách chọn 4 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử.

Số cách chọn là:

b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

Trước hết, ta tính tổng số thành viên trong câu lạc bộ cờ vua là:

Mỗi cách chọn 4 bạn bất kỳ từ tổng số 17 bạn (không quan tâm giới tính) là một tổ hợp chập 4 của 17 phần tử.

Số cách chọn là:

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Việc chọn đội hình gồm 2 nam và 2 nữ là một hành động gồm 2 công đoạn liên tiếp:

• Công đoạn 1: Chọn 2 bạn nam trong 10 bạn nam

  Số cách chọn là: $C_{10}^{2} = 45$ (cách).

• Công đoạn 2: Chọn 2 bạn nữ trong 7 bạn nữ

  Số cách chọn là: $C_{7}^{2} = 21$ (cách).

Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn đội hình thỏa mãn yêu cầu là:

Tổng kết kiến thức

• Tổ hợp ($C_n^k$): Dùng khi chọn một nhóm phần tử mà thứ tự sắp xếp không quan trọng.

• Quy tắc nhân: Dùng khi một công việc phải trải qua nhiều công đoạn bắt buộc để hoàn thành.

• Quy tắc cộng (Mở rộng): Nếu bài toán hỏi "chọn 4 bạn có ít nhất 1 nữ", chúng ta sẽ chia các trường hợp và dùng quy tắc cộng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm với chỉnh hợp ($A_n^k$): Nhiều bạn cho rằng thứ tự chọn là quan trọng nên dùng $A$, dẫn đến kết quả lớn gấp nhiều lần thực tế. Hãy nhớ: Chọn "đội hình" hay "nhóm" thường là dùng tổ hợp.

• Sử dụng sai quy tắc ở câu c: Một số bạn lấy $C_{10}^2 + C_7^2$. Đây là lỗi rất nặng vì nếu chỉ thực hiện một công đoạn (chọn nam) thì chưa đủ 4 người theo yêu cầu đề bài.

• Lỗi tính toán: Khi bấm máy tính các số lớn như $17!$ dễ bị nhầm nút.

Mẹo giải nhanh

1. Dấu hiệu nhận biết: Cứ thấy bài toán yêu cầu chọn một "đội", "nhóm", "tổ" thì 90% là dùng $C$ (tổ hợp).

2. Sử dụng máy tính Casio: * Bấm $C_{10}^4$: Nhập 10 -> SHIFT -> ÷ -> 4 -> =.

   • Kết quả câu c có thể bấm gộp: (10C2) * (7C2).

3. Kiểm tra logic: Số cách chọn ở câu a luôn phải nhỏ hơn câu b vì câu a là một trường hợp hẹp hơn của câu b.