Bài 8.9 trang 70 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Chọn bi khác màu

Bài 8.9 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Phân tích bài toán

Để chọn ra đúng 2 viên bi có màu sắc khác nhau từ túi bi của Hà, chúng ta cần thực hiện một hành động liên tiếp bao gồm hai công đoạn:

1. Công đoạn 1: Chọn ra 1 viên bi màu xanh từ nhóm bi xanh.

2. Công đoạn 2: Chọn ra 1 viên bi màu đỏ từ nhóm bi đỏ.

Vì việc chọn 2 viên bi khác màu đòi hỏi phải thực hiện cả hai công đoạn này mới hoàn thành nhiệm vụ, nên ta sẽ áp dụng quy tắc nhân.

Giải bài 8.9 trang 70 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu, Hà phải chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.

• Số cách chọn 1 viên bi xanh:

  Hà có 5 viên bi xanh, việc chọn ra 1 viên là một tổ hợp chập 1 của 5 phần tử.

  Số cách chọn là: $C_5^1 = 5$ (cách).

• Số cách chọn 1 viên bi đỏ:

  Hà có 7 viên bi đỏ, việc chọn ra 1 viên là một tổ hợp chập 1 của 7 phần tử.

  Số cách chọn là: $C_7^1 = 7$ (cách).

Theo quy tắc nhân, tổng số cách để Hà chọn ra 2 viên bi khác màu là:

Kết luận: Vậy có 35 cách để Hà chọn ra 2 viên bi khác màu.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc nhân: Áp dụng khi một công việc được chia thành nhiều công đoạn liên tiếp. Kết quả cuối cùng là tích của các cách thực hiện từng công đoạn.

• Tổ hợp chập 1 ($C_n^1$): Luôn bằng chính số phần tử $n$. Việc chọn 1 vật từ $n$ vật khác nhau luôn có $n$ cách.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sử dụng nhầm quy tắc cộng: Nhiều bạn lấy $5 + 7 = 12$. Hãy nhớ: Quy tắc cộng chỉ dùng khi các phương án là độc lập (ví dụ: chỉ chọn 1 viên bi duy nhất). Ở đây ta chọn tới 2 viên bi thuộc 2 nhóm khác nhau nên phải dùng quy tắc nhân.

• Lúng túng khi đề bài mở rộng: Nếu đề bài yêu cầu chọn 2 viên bi cùng màu, lúc đó bạn mới cần dùng quy tắc cộng cho hai trường hợp (2 xanh hoặc 2 đỏ).

• Tính toán nhầm $C_n^k$: Một số bạn bấm nhầm sang $A_n^k$ (chỉnh hợp), tuy nhiên với việc chọn vật chập 1 thì kết quả thường giống nhau nên dễ gây chủ quan cho các bài toán chọn nhiều vật hơn.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán chọn 1 vật từ mỗi nhóm:

1. Nhân trực tiếp: Chỉ cần lấy số lượng của nhóm này nhân với số lượng của nhóm kia.

2. Kiểm tra tính hoàn thành: Tự hỏi bản thân "Nếu mình chỉ chọn bi xanh thì đã xong việc chưa?". Nếu chưa xong (cần thêm bi đỏ) thì đó là dấu hiệu của quy tắc nhân.