Cách xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số và bài tập - Toán 11 chuyên đề

Cùng HayHocHoi khám phá bộ bí kíp "giải mã" dãy số ngay sau đây!

I. Lý thuyết về tính chất của dãy số

1. Dãy số tăng và dãy số giảm (Tính đơn điệu)

Để hiểu đơn giản, một dãy số được gọi là tăng nếu số hạng đứng sau luôn lớn hơn số hạng đứng trước. Ngược lại là dãy giảm.

• Dãy số tăng: Dãy số $(u_n)$ gọi là dãy tăng nếu $u_n < u_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

• Dãy số giảm: Dãy số $(u_n)$ gọi là dãy giảm nếu $u_n > u_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

2. Dãy số bị chặn

Dãy số bị chặn giống như một con đường có rào chắn ở hai đầu hoặc một đầu:

• Bị chặn trên: Tồn tại số thực $M$ sao cho $u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

• Bị chặn dưới: Tồn tại số thực $m$ sao cho $u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

• Dãy số bị chặn: Là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Tức là tồn tại số dương $M$ sao cho $|u_n| \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

II. Phương pháp xét tính tăng, giảm và bị chặn

1. Xét tính tăng, giảm (Tính đơn điệu)

Có hai phương pháp phổ biến nhất để kiểm tra một dãy số đang "đi lên" hay "đi xuống":

• Phương pháp 1: Xét hiệu $k_n = u_{n+1} - u_n$

  • Nếu $k_n > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow$ Dãy $(u_n)$ tăng.

  • Nếu $k_n < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow$ Dãy $(u_n)$ giảm.

• Phương pháp 2: Xét tỉ số $t_n = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ (Áp dụng khi $u_n > 0$)

  • Nếu $t_n > 1 \Rightarrow$ Dãy $(u_n)$ tăng.

  • Nếu $t_n < 1 \Rightarrow$ Dãy $(u_n)$ giảm.

2. Xét tính bị chặn

• Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để đánh giá $u_n$.

• Dự đoán giới hạn của dãy số khi $n$ tiến ra vô cùng.

• Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học (nếu cần).

III. Bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n = a \cdot 10^n$ (với $a$ là hằng số)

Lời giải:

Ta xét hiệu $u_{n+1} - u_n$:

Vì $10^n > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:

• Nếu $a > 0 \Rightarrow 9a \cdot 10^n > 0 \Rightarrow$ Dãy số tăng.

• Nếu $a < 0 \Rightarrow 9a \cdot 10^n < 0 \Rightarrow$ Dãy số giảm.

Bài tập 2: Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n}{3^n}$

Lời giải:

• Cách 1: Xét hiệu

  $$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{3^{n+1}} - \frac{n}{3^n} = \frac{n+1}{3 \cdot 3^n} - \frac{3n}{3 \cdot 3^n} = \frac{1 - 2n}{3^{n+1}}$$

  Vì $n \geq 1 \Rightarrow 1 - 2n < 0$, do đó $u_{n+1} - u_n < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

  Kết luận: Dãy số $(u_n)$ giảm.

• Cách 2: Xét tỉ số (Vì $u_n > 0$)

  $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{3n} = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$$

  Với $n \geq 1 \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} \leq 2 \Rightarrow \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \leq \frac{2}{3} < 1$.

  Kết luận: Dãy số $(u_n)$ giảm.

Bài tập 3: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3n+1}{n+3}$

Lời giải:

• Bị chặn dưới: Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $3n+1 > 0$ và $n+3 > 0$. Suy ra $u_n > 0$. Dãy số bị chặn dưới bởi 0.

• Bị chặn trên: Ta biến đổi biểu thức của $u_n$:

  $$u_n = \frac{3n+1}{n+3} = \frac{3(n+3) - 8}{n+3} = 3 - \frac{8}{n+3}$$

  Vì $\frac{8}{n+3} > 0 \Rightarrow 3 - \frac{8}{n+3} < 3$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

  Dãy số bị chặn trên bởi 3.

• Kết luận: Dãy số $(u_n)$ bị chặn vì $0 < u_n < 3$.