Cách xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số và bài tập - Toán 11 chuyên đề

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ cùng các em tìm hiểu cách xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số, qua đó làm một số bài tập chứng minh dãy số tăng, giảm và bị chặn, nhằm giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất của dãy số.

Các em hãy truy cập  hoặc vào trang google tìm kiếm "tiêu đề bài viết" + "tên site " để xem đầy đủ, chính xác và ủng hộ bài viết gốc của trang nhé. Vì hiện nay một số trang tự động sao chép lại , trình bày xấu, rất dễ thiếu sót, nội dung không đầy đủ làm các em khó hiểu.

I. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số (u_n) gọi là dãy tăng nếu u_n < u_n+1 ∀n ∈ N^*

• Dãy số (u_n) gọi là dãy giảm nếu u_n > u_n+1 ∀n ∈ N^*

2. Dãy số bị chặn

• Dãy số (u_n) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho u_n < M, ∀n ∈ N^*

• Dãy số (u_n) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho u_n > m, ∀n ∈ N^*

• Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |u_n | < M ∀n ∈  N^*.

• Để xét tính đơn điệu (xét tính tăng, giảm) của dãy số (u_n), ta xét:

 k_n = (u_n+1 - u_n)

 + Nếu k_n > 0 ∀n ∈ N^* ⇒ dãy (u_n) tăng

 + Nếu k_n < 0 ∀n ∈ N^* ⇒ dãy (u_n) giảm.

 Khi u_n > 0 ∀ n ∈ N^* ta có thể lập tỉ số rồi xét:

 + Nếu t_n > 1 ⇒ dãy số (u_n) tăng

 + Nếu t_n < 1 ⇒ dãy số (u_n) giảm

• Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp toán học.

II. Bài tập xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số

* Bài tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n): với u_n = a.10ⁿ ( với a hằng số).

* Lời giải (hay học hỏi.vn):

Để xét tính tăng, giảm của hàn sô ta xét hiệu  u_n+1 − u_n

+ Ta có: u_n+1 = a.10ⁿ⁺¹

+ Xét hiệu: u_n+1 − u_n = a.10ⁿ⁺¹ − a.10ⁿ = a.10ⁿ(10 − 1) = 9a.10ⁿ.

- Nếu a > 0 thì u_{n + 1} − u_n > 0 nên dãy số tăng.

- Nếu a < 0 thì u_{n + 1} − u_n < 0 nên dãy số giảm.

* Bài tập 2: Xét tính tăng giảm của dãy số (u_n) với 

* Lời giải (hayhọchỏi.vn):

+ Cách 1: Ta xét hiệu:

Vậy, dãy số (u_n) là dãy số giảm.

+ Cách 2: Vì u_n > 0 ∀n ∈ N^*, ta xét tỉ số:

Vì, ta có: 

Vậy, dãy số (u_n) là dãy số giảm.

* Bài tập 3: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với: 

* Lời giải (hay-học-hỏi.vn):

- Với n∈ N* ta có : 

- Nên dãy số bị chặn dưới bởi 0.

- Lại có: 

  với mọi n ∈ N*

Nên dãy (u_n) bị chặn trên bởi 3.

⇒ dãy số (u_n) bị chặn.