Bài 1 trang 36 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x³ + x - 2

b) y = 2x³ + x² - x - 3

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số.

2. Xét sự biến thiên:

   • Tính đạo hàm y'.

   • Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình y' = 0.

   • Xét dấu của y' để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến.

   • Tính giới hạn của hàm số tại vô cực.

   • Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị:

   • Xác định các điểm đặc biệt như điểm cực trị, giao điểm với các trục tọa độ.

   • Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị một cách chính xác.

Lời giải chi tiết:

a) y = x³ + x - 2

TXĐ: D = R

• Chiều biến thiên

y' = 3x² + 1 > 0 ∀x ∈ R nên hàm số đồng biến trên R

• Cực trị

Hàm số không có cực trị

• Các giới hạn tại vô cực

• Bảng biến thiên

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0; -2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: y = 0 ⇔ x³ + x - 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) y = 2x³ + x² - x - 3

TXĐ: D = R

• Chiều biến thiên:

y' = 6x²  + 2x -  ⇔  hoặc 

Trên các khoảng ,  thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng  thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại:  và 

Hàm số đạt cực tiểu tại:  và

• Các giới hạn tại vô cực:

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: y = 0 ⇔ 2x³ + x² - x - 3 = 0 ⇔ x = 1,06

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,06; 0)