Bài 12 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hàm số 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị: Ta sẽ thực hiện các bước cơ bản: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

b) Tìm điểm đối xứng và chứng minh: Sau khi xác định được tọa độ giao điểm A với trục Oy và giao điểm I của hai đường tiệm cận, ta sẽ sử dụng công thức tọa độ trung điểm để tìm điểm B đối xứng với A qua I. Sau đó, thay tọa độ điểm B vào hàm số để chứng minh nó thuộc đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hàm số: 

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = -3/(x - 1)² Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có: 

Nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: 

Nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Với x = 0 thì y = – 1 nên đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Với y = 0 thì x = -1/2 nên đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1/2; 0)

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 2). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 2.

b) Ta có A(0; – 1), I(1; 2).

Vì B đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AB.

Khi đó, tọa độ của điểm B là:

x_B = 2x_I - x_A = 2.1 - 0 = 2 và y_B = 2y_I - y_A = 2.2 - (-1) = 5

⇒ B(2; 5).

Ta có (2.2 + 1)/(2 - 1) = 5

Do đó điểm B(2; 5) thuộc đồ thị hàm số