Bài 9 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 9 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

c) Biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất

Giải bài 9 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất

Bài ra, ta có: a + b = 10 (a ≥ 0, b ≥ 0)

Suy ra: a = 10 - b

Khi đó: ab =  (10 - b)b = -b² + 10b

= -(b² - 10b + 25) + 25 = -(b - 5)² + 25 ≤ 25

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức: a.b = 25

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b - 5 = 0 

⇔ b = 5 ⇒ a = 5.

Vậy Max(ab) = 25, khi a = b = 5.

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab

= (a + b)² - 2ab = 10² - 2ab = 100 - 2ab

Nên a² + b² đạt giá trị nhỏ nhất khi tích ab đạt giá trị lớn nhất

Tức là: Min(a² + b²) = 100 - 2.25 = 50, khi a = b = 5.

Vậy Min(a² + b²) = 50, khi a = b = 5.

c) Biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất

ta có: a + b = 10 (a ≥ 0, b ≥ 0)

Suy ra: a = 10 - b

Khi đó: ab² =  (10 - b)b² = -b³ + 10b²

Đặt y = -b³ + 10b² trên đoạn [0; 10]

Ta có: y' = -3b² + 20b = 0 ⇔ b = 0 hoặc b = 20/3.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực đại tại b = 20/3 ⇒ a = 10/3

Giá trị cực đại: ab² = y = 4000/27 = 148,1481