Bài 9 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

c) Biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu tìm hai số không âm $a$ và $b$ có tổng bằng 10 ($a+b=10$) để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Để giải quyết bài toán này, các em sẽ sử dụng phương pháp sau:

1. Thiết lập hàm số: Từ điều kiện $a+b=10$, ta sẽ biểu diễn một biến theo biến còn lại (ví dụ, $a=10-b$). Sau đó, thay vào các biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất để có một hàm số một biến.

2. Tìm miền giá trị của biến: Vì $a,b\ge 0$, ta sẽ xác định được miền giá trị của biến.

3. Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất: Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số trên miền xác định. Ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đại số (như bất đẳng thức Cauchy hoặc biến đổi về bình phương) cho các bài toán đơn giản.

Lời giải chi tiết:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất

Bài ra, ta có: a + b = 10 (a ≥ 0, b ≥ 0)

Suy ra: a = 10 - b

Khi đó: ab =  (10 - b)b = -b² + 10b

= -(b² - 10b + 25) + 25 = -(b - 5)² + 25 ≤ 25

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức: a.b = 25

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b - 5 = 0 

⇔ b = 5 ⇒ a = 5.

Vậy Max(ab) = 25, khi a = b = 5.

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab

= (a + b)² - 2ab = 10² - 2ab = 100 - 2ab

Nên a² + b² đạt giá trị nhỏ nhất khi tích ab đạt giá trị lớn nhất

Tức là: Min(a² + b²) = 100 - 2.25 = 50, khi a = b = 5.

Vậy Min(a² + b²) = 50, khi a = b = 5.

c) Biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất

ta có: a + b = 10 (a ≥ 0, b ≥ 0)

Suy ra: a = 10 - b

Khi đó: ab² =  (10 - b)b² = -b³ + 10b²

Đặt y = -b³ + 10b² trên đoạn [0; 10]

Ta có: y' = -3b² + 20b = 0 ⇔ b = 0 hoặc b = 20/3.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực đại tại b = 20/3 ⇒ a = 10/3

Giá trị cực đại: ab² = y = 4000/27 = 148,1481