Bài 10 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình 3. Viết công thức của hàm số

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để viết công thức của hàm số bậc ba y=ax³+bx²+cx+d từ đồ thị, ta cần tìm các hệ số $a,b,c,d$. Chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị để thiết lập một hệ phương trình:

1. Giao điểm với trục Oy: Đồ thị đi qua điểm có hoành độ $x=0$, ta tìm được hệ số $d$.

2. Tọa độ các điểm cực trị: Đồ thị có các điểm cực trị. Hoành độ của các điểm cực trị là nghiệm của phương trình đạo hàm bậc nhất y′=0. Tọa độ đầy đủ của các điểm cực trị phải thỏa mãn phương trình hàm số ban đầu.

3. Tọa độ các điểm đặc biệt khác: Nếu có, ta sử dụng các giao điểm với trục Ox hoặc các điểm khác mà đồ thị đi qua.

Từ đồ thị, ta sẽ trích xuất các thông tin cần thiết và giải hệ phương trình để tìm các hệ số.

Lời giải chi tiét:

Từ đồ thị ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số bậc 3

Giải sử hàm số có dạng: y = ax³ + bx² + cx + d  (*)

Ta có: y' = 3ax² + 2bx + c  (**)

• Đồ thị hàm số đi qua điểm x = 0, y = 5, nên ta có: 5 = d

Khi đó: y = ax³ + bx² + cx + 5

• Đồ thị hàm có điểm cực tiểu x = 1 giá trị cực tiểu y = 1, nên:

x = 1 là nghiệm của (**), tức là: 3a + 2b + c = 0  (1)

Từ (*) có: 1 = a + b + c + 5 ⇒  a + b + c = -4  (2)

•  Đồ thị hàm có điểm cực đại x = 3, giá trị cực đại y = 5

x = 3 là nghiệm của (**), tức là: 27a + 6b + c = 0 (3)

Từ (*) có: 5 = 27a + 9b + 3c + 5 ⇒ 27a + 9b + 3c = 0 (4)

Giải (1), (2) và (3) ta được: a = -1; b = 6; c = -9

Vậy hàm số có dạng  y = -x³ + 6x² - 9x + 5