Bài 13 trang 38 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hàm số 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4]

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị: Ta sẽ thực hiện các bước cơ bản: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, xét tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn [2; 4]: Sau khi khảo sát hàm số, ta sẽ tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị thuộc đoạn và tại hai mút của đoạn để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hàm số

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = (x² − 2x − 3)/(x−1)². Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và y­_CĐ = 2.

• Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

Ta có: 

⇒ Đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: 

Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ x = -2 + √5 hoặc x = -2 - √5

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (-2 + √5; 0) và điểm (-2 - √5; 0)

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5. 

b) Xét hàm số  với x ∈ [2; 4].

Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3.

Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = 31/3

Vậy trên [2; 4] thì max(y) = 11  tại x = 2 và min(y) = 10 tại x = 3