Bài 15 trang 39 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  trên [30; 120]

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: Ta sẽ thực hiện các bước cơ bản: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị trên đoạn $[30;120]$.

b) Tìm số phần ăn để chi phí trung bình thấp nhất: Dựa vào kết quả khảo sát ở câu a, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và xác định giá trị $x$ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hàm số  với x ∈ [30; 120].

1. Tập xác định: D = [30; 120].

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm: . Trên khoảng (30; 120), ta có 

Trên khoảng (30; 60),  nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (60; 120),  nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 60 và

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (60; 10).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (30; 70), (40; 30), (80; 20), (90; 30) và (120; 70).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây:

b) Từ câu a), ta thấy trên đoạn [30; 120],

giá trị nhỏ nhất của hàm số  bằng 10 tại x = 60.

Vậy số phần ăn là 60 thì chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.