Bài 2 trang 36 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y'' = 0

b) Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

a) Tìm điểm I: Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của nó là nghiệm của phương trình y′′=0. Điểm này còn được gọi là điểm uốn của đồ thị.

b) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị: Để chứng minh điều này, chúng ta cần tìm tọa độ của hai điểm cực trị. Sau đó, tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối chúng và so sánh với tọa độ điểm I đã tìm được.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm điểm I

Ta có: y' = 3x² - 6x 

y'' = 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1

Thay x = 1 vào y = x³ - 3x² + 2 ta được y = 0

Vậy tọa độ điểm I(1; 0)

b) Ta có:

y' = 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = -2

Khi đó trung điểm của đoạn thẳng nói hai điểm cực trị sẽ là: 

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 cực trị.