Bài 5 trang 36 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hàm số 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị: Ta sẽ thực hiện các bước cơ bản: tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, xét tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

b) Tìm trung điểm của đoạn nối hai cực trị: Sau khi tìm được tọa độ hai điểm cực trị, ta sẽ sử dụng công thức tọa độ trung điểm  để tính. Điểm này có mối liên hệ đặc biệt với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 

TXĐ: D = R\{-2}

Chiều biến thiên:

Trên các khoảng (-∞; -5), (1; +∞) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (-5; 2) và (2; 1) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Giới hạn và tiệm cận:

Nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Nên y = -x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1/2 nên (0; 1/2) là à giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Đồ thị:

b) Tìm tọa độ trung điểm

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -5 và y_CT = 13

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và y_CĐ = 1

Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là:

Điểm này là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Nhận xét:

• Ta thấy hoành độ của điểm I ($x=-2$) chính là phương trình của tiệm cận đứng.

• Ta cũng thấy tung độ của điểm I ($y=7$) nằm trên đường tiệm cận xiên ($y=-x+5$, vì $y(-2)=-(-2)+5=7$).

• Vậy, trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị chính là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Điểm này còn được gọi là tâm đối xứng của đồ thị.